《常微分方程》答案习题4.docVIP

习题 3.4 (一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的话）： 1、 解：令，则， 两边对x求导，得 从得 时，； 从得 ， 为参数，为任意常数. 经检验得 ，是方程奇解. 2、 解：令，则， 两边对x求导，得 ， 解之得 ， 所以， 且y=x+1也是方程的解，但不是奇解. 3、 解：这是克莱洛方程，因此它的通解为， 从 中消去c, 得到奇解. 4、 解：这是克莱洛方程，因此它的通解为 ， 从 中消去c, 得到奇解 . 5、 解：令，则， 两边对x求导，得 ， 解之得 ， 所以 ， 可知此方程没有奇解. 6、 解：原方程可化为， 这是克莱罗方程，因此其通解为， 从 中消去c，得奇解. 7、 解：令，则， 两边对x求导，得 ， 所以 ， 可知此方程没有奇解. 8、 解： 可知此方程没有奇解. 9、 解：令，则， 两边对x求导，得 解之得 ， 所以 ， 且 也是方程的解，但不是方程的奇解. 10、 解： 这是克莱罗方程，因此方程的通解为， 从中消去c, 得方程的奇解. （二）求下列曲线族的包络. 1、 解:对c求导，得 x+2c=0, , 代入原方程得，， 经检验得，是原方程的包络. 2、 解：对c求导，得 ， 代入原方程得 ，即， 经检验得是原方程的包络. 3、 解：对c求导，得 –2(x-c)-2(y-c)=0, , 代入原方程得. 经检验,得 是原方程的包络. 4、 解：对c求导，得 -2(x-c)=4, c=x+2, 代入原方程得 ，, 经检验，得是原方程的包络. (三) 求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c. 解：设所求曲线方程为y=y(x),以X、Y表坐标系，则曲线上任一点（x,y(x)）的切线方程为， 它与X轴、Y轴的截距分别为，， 按条件有 ，化简得， 这是克莱洛方程，它的通解为一族直线， 它的包络是， 消去c后得我们所求的曲线. (四) 试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解. 证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法， 从 中消去p后而得的曲线； c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程 中消去c而得的曲线， 显然它们的结果是一致的，是一单因式， 因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解.