《微分几何》陈维桓习题及答案.docVIP

§ 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。 证明： 设旋转面方程为， ， 纬线即—曲线：（常数）， 其测地曲率为 为常数。 ? ? ?2、证明：在球面 ， 上，曲线的测地曲率可表示成 ， 其中是球面上曲线的参数方程， 是曲线的弧长参数， 是曲线与球面上经线（即-曲线）之间的夹角。 证明 易求出, ,, 因此 ， 而， 故 。 3、证明：在曲面的一般参数系下，曲线的测地曲率是 ， 其中是曲线的弧长参数，， 并且 ， 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 。 证明 设曲面参数方程为， 曲面上的曲线的参数方程为，为的弧长参数； 为上沿的法向量； 曲线， 而 ， ， ， ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 代入计算 ? ? ? ? ， 由此得到 ? ? ?， 以上是测地曲率的一般计算公式。 换回参变量，即可得到结果。 ? ? ?4．若曲面：上曲线:u = u(t),v = v(t),t为曲线上的任意参数，试导出测地曲率的计算公式。 解 由于 ， 而 ， 所以 ， 所以； 记， 又， ， 从而 ， ， 由此得到： 。 ?5、求椭球面上由平面所截的截线在点的测地曲率。 6、求椭球面上由平面所截的截线在点的测地曲率。 ? ? ?6、2 测地挠率 1、对曲面上的曲线的测地挠率， 有. 证明 证法一 ， 将代入，利用拉格朗日恒等式，得 ， 将 ，代入，得 ； 证法二 ， 由，得 从而 ， 将 ，代入，得 . 2、设是曲面上的曲线，证明：是曲率线的充分必要条件是 。 证明 设是曲率线，于是是主方向，则有， 从而； 若，则有共面， 于是有，而，必有，于是， 即得是主方向，是曲率线。 3 、曲面上一点处的单位法向量为.设曲面上曲线，以表示与的夹角.命 ， 设曲面上曲线在点处的挠率和测地挠率分别为，，则有 。 显然，如果沿曲线有常数，则对此种曲线有. 证明 根据向量之间的关系， 易得， ， ， 利用上述关系式及曲线论的Frenet 公式，代入计算，得 。 4、 设曲面：上的坐标曲线构成正交网. 曲面上曲线的切方向与的夹角为，则有. 证明 在正交坐标曲线网下，我们有， ， 将它代入测地挠率的计算公式，计算得 ， ， ， 故有 . 5、证明： 曲面上任何两正交的方向的测地挠率之和为零. 证明 在曲面上选取正交坐标曲线网，曲面方程. 曲面上两正交方向与的夹角分别为和， 由于， ， 所以有 . 选取曲率线网作为曲面坐标网，主曲率分别为， 由欧拉公式，得， 从而， 于是 . 6、证明： 曲面上一点 沿一方向上的法曲率为和测地挠率之间满足: . 证明 由，， 经过计算，可得 ， 此即. 7、证明 ：极小曲面曲面上一点 沿一方向上的法曲率为和测地挠率与曲面的Gauss 曲率满足: . 8、证明：若曲线为过曲面上一双曲点的渐近曲线，且 曲率，则曲线在点的挠率和曲面在点的Gauss 曲率满足: . 证明 由条件可知，，利用， 即得. 9、试证明:在曲面的双曲点,主方向平分两渐近方向. 证:设曲面为S,渐近方向所对应得单位方向向量为, 取在主方向下所对应的标准正交基为, 则， 其中是按的定向从到的角, 则沿的法曲率由Euler公式,有， 因为是双曲点,不妨设,又所对应的方向为渐近方向,所以 ， 解得， 从而可知主方向平分两渐近方向. 10、 证明：假定曲面上经过一双曲点的两条渐近曲线在该点的曲率不为零，则这两条曲线在该点的挠率的绝对值相等，符号相反，并且这两个挠率之积等于曲面在该点的高斯曲率. 证明 这两条曲线在该点的挠率分别等于各自的测地挠率， 选取曲率线网作为曲面坐标网，主曲率分别为，且其中一条渐近曲线与成角，则另一条渐近曲线与成角，于是两条渐近曲线在该点的测地挠率分别为 ，， 显然，， 由于， 所以， 于是有 . § 6.3 测地线 1. 证明:柱面上的测地线必定是定倾曲线. 证明 不妨设柱面的直母线与轴平行， 故曲面方程可取为， 其中为准线的弧长参数。现在求形如的测地线方程。 此时， ，， 对于测地线，有， 于是， 可得 ， 由于为准线的弧长参数，所以有， 从而， 所以，因而； 由此，测地线族的方程为， ， 即测地线与轴（即直母线）成定角，从而形如的测地线为定倾曲线。 又因直母线也是测地线，且与轴平行，故直母线也是