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《微积分》下册 第二章测验题参考解答 专业 姓名 学号 成绩 一、填空题（本题共5小题，每小题2分，满分10分. 把答案填在题中横线上）： 1．平面区域是由直线，及围成，则． 2．设，则． 3．设，则0． 4．设区域由围成，则在极坐标系下 ． 5．常数，且 则a ＝． 二、选择题(本题共10小题，每小题2分，满分20分. 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内)： 1．下列不等式正确的是（ D ）． A. B. C. D. 2、（ A ）． A. B. C. D. 3．设区域，；又，则结论正确的是（ C ）． A. B. C. D. 4．设由x轴，围成，则 =（ D ）． A. B. C. D. 5、.设f (x, y)连续，且，其中D是由y = 0, y = x2, x = 1所围区域，则f (x, y)等于（ C ）. A. xy B. 2xy C. xy + D . xy + 1 6．设，当 ，则有（ A ）． A. B. C. D. 7．设，则改变积分次序后为（ D ）． A. B. C. D. 8．设是在面上以，为顶点的三角形区域，是的第一象限部分，则等于（ A ）． A. B. C. D. 9．设积分区域，则（ B ）． A. B. C. D. 10．设平面区域，函数在上连续，则 （ A ）． A. B. C. D. 三、计算题(每小题7分，共56分)： 1．求，其中D由，，围成. 解 由D的的对称性，＝+＝＝ 其中 故 ． 2．改变积分的次序. 解 积分区域， 其中， 为型区域， 其图形如右所示． 交换积分次序后，区域应视为型区域．故 ． 3．设， D是由围成． 求． 解 当时，D上 当时， 当时， 当时， 综上所述, 得 4．计算，D：． 解 5．计算． 解 积分区域如右所示．交换积分次序，得 ． 6．求，其中D由，，围成的 第一象限区域． 解　利用极坐标计算. 故 7. 求，其中D是由圆和所围成的 平面区域(如图). 解 积分区域D的图形分为大圆 减去小圆 ， 再利用对称性与极坐标计算即可. 令， 由对称性，. 所以，. 8．计算广义积分，其中G为由，所围成的区域． 解　令 显然，且时，必有。 故 四、应用题(本题8分)： 求球体与圆柱体的公共部分的体积． 解 由题意所求立体的图形如图右所示． 上半球面的方程为 由对称性，得 ． 令，则 ， 其图形如图右所示． ． 所以 ． 五、证明题(本题6分)： 求证： 其中． 证明 积分区域如图右所示． 考虑 在D内的最值． 解方程组 得驻点，且． 而在该区域内上，有 ． 因，则． 由正弦函数的性质，有 当时，；当时，． 则 故 ． 《微积分》下册第二章测验题参考解答 1