《空间图形的基本关系与公理》.docVIP

第二节 空间图形的基本关系与公理 A组 1．以下四个命题中，正确命题的个数是________． ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面； ③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 解析：①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．答案：1 2．给出下列四个命题： ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面；[来源:学。科。网] ③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l； ④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内． 其中真命题的个数为________． 解析：根据平面的基本性质知③正确．答案：1 3．(2009年高考湖南卷改编)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________． 解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．答案：5 4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是________． 解析：边长是正方体棱长的倍的正六边形．答案：正六边形 5．(原创题)已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是________． 解析：如图1，当直线m或直线n在平面α内且m、n所在平面与α垂直时不可能有符合题意的点；如图2，直线m、n到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线． 答案：(1)(2)(4) 6．如图，已知平面α、β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)． 证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两腰， ∴AB，CD必定相交于一点． 如图，设AB∩CD=M. 又∵AB?α，CD?β， ∴M∈α，且M∈β， ∴M∈α∩β. 又∵α∩β=l，∴M∈l， 即AB，CD，l共点 B组 1．有以下三个命题： ①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点； ②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示； ③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交，其中所有正确命题的序号是______________． 解析：表示线与面的关系用“?”或“?”表示，故②错误．答案：①③[来源:学科网ZXXK] 2．(2010年黄冈调研)下列命题中正确的是________． ①若△ABC在平面α 外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面． 解析：在①中，因为P、Q、R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与α的交线上，即P、Q、R三点共线，故①正确；在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A、B两点在该平面上，所以l?α，即a、b、l三线共面于α；同理a、c、l三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a、l，∴α与β重合，即这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．答案：①② 3．对于空间三条直线，有下列四个条件： ①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点 ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交 其中使三条直线共面的充分条件有：________. 解析：易知①中的三条直线一定共面，④中两条直线平行可确定一个平面，第三条直线和这两条直线相交于两点，则第三条直线也在这个平面内，故三条直线共面．答案：①④ 4．(2008年高考浙江卷改编)对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得________． ①a?α，b?α　　　②a?α，b∥α ③a⊥α，b⊥α　　④a?α，b⊥α 解析：不相交的直线a、b的位置有两种：平行或异面．当a、b异面时，不存在平面α满足①、③；又只有当a⊥b时④才成立．答案：② 5．正方体AC1中，E、F分别是线段C1D、BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________． 解析：直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF?平面A