《线性代数》B组题.docVIP

第四章 矩阵的特征值和特征向量 习 题 四 (B) 1、判断下述结论是否正确 （1）实数域上的n阶矩阵一定有n个特征向量； 　　解 ： 错 。n阶矩阵的特征多项式在实数域上不一定有n个根。 （2）与有相同的特征值和特征向量； 解 ： 错。 若与有相同的特征值和特征向量，设是的属于的特征向量（则 ， ， =， 而只有当是对称矩阵时才有=。 （3） 若是的一个特征值，则齐次线性方程组的非零解就是的属于的特征向量； 解： 错。 齐次线性方程组的基础解系的线性组合才是的属于的特征向量 （4）的一个特征向量； 解： 错。 若的一个特征向量，则 , ， , 与题设矛盾。 （5）若不是的一个特征值，则可逆。 解： 对。 若不可逆 则det=0与若不是的特征值矛盾。 2、 设=，求的对应于其特征值的特征子空间的基。 解： 矩阵的特征多项式为： det（=。 由det（可得的特征值 ， 对于=1，解齐次线性方程组（）X=0，可得方程组的一个基础解系 ， 对于，解齐次线性方程组（）X=0，可得方程组的一个基础解系 设=，求的特征值为1，2，3。试求x的值。 解： 矩阵的特征多项式为： det（= 又 的特征值为1，2，3 时， det（=0 由此解得x=4 。 已知的一个特征向量。试确定a, b值和a所对应的特征值，并判断是否可对角化？ 　　解： 的一个特征向量， ， 即， 解此线性方程组可得。 则矩阵的特征多项式为 。 由det（可得的特征值， 对于=，解齐次线性方程组（）X=0，可得方程组的一个基础解系 。 对应于=的线性无关的特征向量只有一个， 不能对角化。 已知三阶矩阵的特征值为　-1，1，2，矩阵。试求的特征值和det。 　　 解： ， =（）（）， =（）（）， =（）（）， 又的特征值为，，， det（）=det（）（）=0， det（）=det（）（）=0， det（）=det（）（）=0， 的特征值为－1，1，2　， 的特征值为－2，－4，－10， det=（－2）。 试证： 果为奇数阶正交矩阵，且det=1，则1是的一个特征值。 证明： 由为奇数阶正交矩阵，知，且AT＝A。 detdetdetAdet(AT- E ) =detdet=det(A - E)=, 又因为A为奇数阶矩阵。所以det。即： =0, 1是A的一个特征值。 果为n阶正交矩阵，且det=，则是的一个特征值。 证明： 由为n阶正交矩阵，知，且AT＝A。 detdetdetdet=， 即， 是的一个特征值。 判断下述结论是否正确，并简述理由。 （1）如果~，则存在对角矩阵∧，使，都相似于∧； 解： 错。 由~不能得出存在对角矩阵∧，使A，B都相似于∧，由~ 不能 得出都能对角化，因此也不能保证，都相似于∧。 （2） 如果~，则有相同的特征值和特征向量； 解： 错。 若~，则有相同的特征值，但未必有相同的特征向量，设的属于的特征向量为（，由于~，则存在可逆矩阵P，使得A=PB，于是PB，即B 由此可知矩阵B的属于的特征向量为 。 （3）如果A~B，则对任意的常数，有； 解：错 。若，则，而由~不能得出 （4）如果~，则对任意的常数，有。 解： 对。 由于~，则存在可逆矩阵P，使得 ， ， P（， P（， ， 如果~，则对任意的常数，有。 设n阶矩阵 A= （1）求A的特征值和特征向量； （2）A是否可以对角化？若可以，试求出可逆矩阵P，使为对角矩阵。 解：（1）A的特征多项式为 det= = = ==， 由det（可得A的特征值，。 对于=0，解齐次线性方程组（0E－A）X=0，可得方程组的一个基础解系 对于=na，解齐次线性方程组（naE－A）X=0，可得方程组的一个基础解系。 （2）A可以对角化。 令P=（ 即 P=时， 则为对角矩阵。 设向量，都是非零向量，且满足条件，记n阶矩阵A=，求 （1）及其特征值； 解：=， 。 而 A= A， A2的特征多项式为det（E－A2）=， 由此可得A