《线性代数》A卷.docVIP

一、单项选择题(本题共5小题，每小题2分，满分10分。在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要 求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均不得分)。 1．行列式 的值为（ ） （A） （B） （C） （D） A为任意n阶矩阵,下列矩阵中反对称矩阵是（ ） ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 3．AX = 0是非次线性方程组AX = B的导出组，若A是3×4的矩阵，则（ ）是正确的. ( A ) AX = 0仅有零解 ( B ) AX = 0必有非零解 ( C ) 当AX = 0有非零解时, AX = B就有无穷多解 ( D ) AX = 0可能有非零解 .下列叙述错误的是（ ） 若向量组线性相关, 则每一个向量都是其余向量的线性组合 若向量组线性无关, 则其中任意部分向量组也线性无关 若向量组线性无关, 向量组线性相关, 则可由 线性表示且表示法唯一 任意n+1 个n维向量必定线性相关 5．设是正交矩阵, 则下列结论错误的是（　　 ） 必为1 必为1 的行(列)向量组是正交向量组 二、填空题(本题共5题，每题2分，满分10分) 1．如果方阵均为三维列向量，且 则行列式________. 2. 设为三阶方阵,且 则 _________. 3. 已知 4. 设是可逆方阵的一个特征值,则方阵必有一个特征值为_________. 5. 设实二次型的秩为4，负惯性指数为1的规范形为_____________________. 三、计算题(本题共6个小题, 满分65分) 1.(8分) 当为何值时, 向量组线性无关？相关？ 2.(10分) 设矩阵。 3. (10分) 设三阶方阵的特征值为1, 2, 3 , 对应的特征向量分别为 求矩阵 和行列式的值。 4.(10分) 当取何值时，线性方程组有解？用基础解系表示其全部解. 5.(12分) 已知，， 。求： (1) 该向量组的秩； (2) 该向量组的一个极大无关组； (3) 将其余向量用所求的极大无关组线性表示。 6.(15分) 已知二次型为， (1) 写出二次型的矩阵； (2) 用正交变换把二次型化为标准形，并写出相应的正交矩阵； (3) 指出二次型的秩及其正负惯性指数、符号差。 四、证明题(本题共3小题，每小题5分，满分15分) 1.设均为同阶可逆矩阵，且，试证：。 2. 设向量组线性无关, 则线性无关。 3.设同阶矩阵均为正定矩阵, 试证: 是正定的。 装 订 线 第 1 页 共 3 页 2010-11-30