《组合数学》教案(排列组合基础).docVIP

组合数学基础 排列组合的基本计数问题 多项式系数的计算及其组合意义 排列组合算法 绪 论 背景 起源：数学游戏 幻方问题：给定自然数1, 2, …, n2，将其排列成n阶方阵，要求每行、每列和每条对角线上n个数字之和都相等。这样的n阶方阵称为n阶幻方。每一行（或列、或对角线）之和称为幻方的和（简称幻和）。 例：3阶幻方，幻和＝(1＋2＋3＋…＋9)/3＝15。 关心的问题 存在性问题：即n阶幻方是否存在？ 计数问题：如果存在，对某个确定的n，这样的幻方有多少种？ 构造问题：即枚举问题，亦即如何构造n阶幻方。 8 1 6 2 7 6 3 5 7 9 5 1 4 9 2 4 3 8 3阶幻方 奇数阶幻方的生成方法： 一坐上行正中央，依次斜填切莫忘， 上边出格往下填，右边出格往左填， 右上有数往下填，右上出格往下填。 例：将2，4，6，8，10，12，14，16，18填入下列幻方： 【例1.1.1】（拉丁方）36名军官问题：有1，2，3，4，5，6共六个团队，从每个团队中分别选出具有A、B、C、D、E、F六种军衔的军官各一名，共36名军官。问能否把这些军官排成6×6的方阵，使每行及每列的6名军官均来自不同的团队且具有不同军衔？ 本问题的答案是否定的。 A1 B2 C3 D4 E5 F6 A1 B2 C3 D4 E5 F6 B2 C3 D4 E5 F6 A1 B3 C4 D5 E6 F1 A2 C3 D4 E5 F6 A1 B2 C5 D6 E1 F2 A3 B4 D4 E5 F6 A1 B2 C3 D2 E3 F4 A5 B6 C1 E5 F6 A1 B2 C3 D4 E4 F5 A6 B1 C2 D3 F6 A1 B2 C3 D4 E5 F6 【例1.1.2】（计数——图形染色）用3种颜色红（r）、黄（y）、蓝（b）涂染平面正方形的四个顶点，若某种染色方案在正方形旋转某个角度后，与另一个方案重合，则认为这两个方案是相同的。求本质上不同的染色方案。 举例： r y y b b b r b （a） （b） 形式总数：＝81种。 实际总数（见第6章）： L＝＝24 【例1.1.3】（存在性）不同身高的26个人随意排成一行，那么，总能从中挑出6个人，让其出列后，他们的身高必然是由低到高或由高到低排列的（见第5章）。 注意：不改变原来的相对顺序。 研究内容 算法分类： 第一类：数值算法。主要解决数值计算问题，如方程求根、解方程组、求积分等，其数学基础是《高等数学》与《线性代数》（解决建模问题，《数值分析》或称《计算方法》解决离散化问题，即在计算机上的求解方法问题）。 第二类：组合算法。解决有哪些信誉好的足球投注网站、排序、组合优化等问题，其数学基础就是《组合数学》。 按所研究问题的类型，研究内容： 组合计数理论 组合设计 组合矩阵论 组合优化 本课程重点：以组合计数理论为主，部分涉及其它内容。 研究方法 分类： 第一类：从组合学基本概念、基本原理出发解题的所谓常规方法（利用容斥原理、二项式定理、Pólya 定理解计数问题；解递推关系的特征根方法、母函数方法；解存在性问题的抽屉原理等）。 第二类：通常与问题所涉及的组合学概念无关，而对多种问题均可使用。例如： 数学归纳法：前提是已知问题的结果。 迭代法 【例】如已知数列满足关系，求的解析表达式。 （解）直接迭代即得： ＝＋1＝ ＝＝ ＝ ＝ 一一对应技术 原理：建立两类事物之间的一一对应关系，把一个较复杂的组合计数问题A转化成另一个容易计数的问题B，从而利用对B的计数运算达到对A的各种不同方案的计数。 思路：将未解决问题的模式转化为一种已经解决的问题模式。 殊途同归方法 原理：从不同角度讨论计数问题，以建立组合等式。 应用：组合恒等式的证明（也称组合意义法）。 数论方法 特别是利用整数的奇偶性、整除性等数论性质进行分析推理的方法。 组合数学用的较多的是方法（3）与（4）。 【例1.1.4】有100名选手参加羽毛球比赛，如果采用单循环淘汰制，问要产生冠军共需要进行多少场比赛？ （解）常规思路：50＋25＋12＋6＋3＋2＋1＝99场 10000名选手：5000＋2500＋1250＋625＋312＋…＋1 采用一一对应方法：每场比赛产生一个失败者，且每个失败者只能失败一次。反之，要淘汰一个选手，必须恰好经过一场比赛。 结论：失败者与比赛场次之间一一对应，故应该比赛99场。 一般情况：单循环淘汰制的比赛，若有n个选手参考比赛，则须经过n－1场比赛，方可产生冠