《高等数学》十复习要点.docVIP

第十一章无穷级数，则称为无穷级数，简称级数，称为级数的一般项 数列：，，，称为级数的前项和数列 2. 级数收敛与发散的定义 若，则称级数收敛于和；若不存在（或为），则称级数发散. 几何(或等比)级数的敛散性是：当时，它收敛；当时，它发散. 级数的主要性质： 级数与级数同敛散（），当级数收敛于和时，级数收敛于和. 若级数与分别收敛于和，则级数也收敛且和为. 在级数中添加或去掉有限项不会改变级数的敛散性. 若级数收敛，则. 5. 若,则级数必发散. §2 常数项级数的审敛法 正项级数的审敛法 若在级数中总有 则称是正项级数. 级数 的敛散性是：当时,它收敛;当时，它发散. 正项级数的审敛法有： 比值法 设是正项级数.若，则有： （1）若，则级数收敛； （2）若，则级数发散； （3）若，比值法失效. 注：一般当含次方或阶乘时可用比值法. 2.比较法 设两正项级数、满足：，则有 若收敛，则收敛； 若发散，则发散. 比较法的极限形式 设两正项级数、满足：（），则级数与 同敛散； 注：当时，若级数收敛则级数也收敛； 当时，若级数发散则级数也发散； 在应用比较法及其极限形式时，常选等比级数或级数作比较对象. 交错级数的审敛法 形如或的级数称为交错级数，其中. 莱布尼兹定理：若交错级数或满足： （1），即数列单调递减；（2）， 则交错级数或收敛，且其和. 绝对收敛与条件收敛 对任意项级数，若收敛，则必收敛. 若级数收敛，则称级数绝对收敛；若级数发散而级数收敛，则称级数条件收敛. 注：对交错级数，一般先判断的敛散性，在判断的敛散性时，所有正项级数的审敛法都可以拿来用，若其收敛则交错级数绝对收敛；若其发散，再判断自身的敛散性. 交错级数 当是为条件收敛，当时为绝对收敛. §3 幂级数 幂级数的收敛半径、收敛域 对幂级数，设 ，则收敛半径. 注： 求幂级数的收敛域，先求出其收敛半径，再讨论级数在端点处的敛散性，才能得到幂级数的收敛域. 二、将函数展开成（或）的幂级数，并给出可展区间. 熟记以下几个基本函数的展开式，并熟练掌握换元法. (1); ; (2). 4