【】已知正方形ABCD中,E为对角线BD上点,过E点作EF.docVIP

【011】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴ CG= FD．………1分 同理，在Rt△DEF中，EG= FD．…………2分∴ CG=EG．…………………3分 （2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分 证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴ △DAG≌△DCG．∴ AG=CG．………………………5分 在△DMG与△FNG中，∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴ △DMG≌△FNG．∴ MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分 在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △AMG≌△ENG．∴ AG=EG．∴ EG=CG． ……………………………8分 证法二：延长CG至M,使MG=CG， 连接MF，ME，EC， ……………………4分 在△DCG 与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG， ∴△DCG ≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ∴MF∥CD∥AB．………………………5分∴ 在Rt△MFE 与Rt△CBE中， ∵ MF=CB，EF=BE，∴△MFE ≌△CBE．∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．∴ △MEC为直角三角形．∵ MG = CG，∴ EG= MC．………8分 （3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分 【012】如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴交轴于点，连结， 并延长交圆于，求的长． （3）过点作圆的切线交的延长线于点， 判断点是否在抛物线上，说明理由． 【012】解：（1）圆心在坐标原点，圆的半径为1， 点的坐标分别为 抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点， ．点在抛物线上，将的坐标代入，得： 解之，得： 抛物线的解析式为：． 4分 （2） 抛物线的对称轴为， ． 6分 连结， ，， 又， ， ． 8分 （3）点在抛物线上． 9分 设过点的直线为：， 将点的坐标代入，得：， 直线为：． 10分 过点作圆的切线与轴平行，点的纵坐标为， 将代入，得：． 点的坐标为，当时，， 所以，点在抛物线上． 12分 【013】如图，抛物线经过三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标； 若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D， 使得的面积最大，求出点D的坐标． 【013】解：（1）该抛物线过点， 可设该抛物线的解析式为． 将，代入， 得解得 此抛物线的解析式为． （3分） （2）存在． （4分） 如图，设点的横坐标为， 则点的纵坐标为， 当时， ，． 又， ①当时， ， 即． 解得（舍去），． （6分） ②当时，，即． 解得，（均不合题意，舍去） 当时，． （7分） 类似地可求出当时，． （8分） 当时，． 综上所述，符合条件的点为或或． （9分） （3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为． 过作轴的平行线交于．由题意可求得直线的解析式为． （10分） 点的坐标为．． （11分） ． 当时，面积最大．． （13分） 【014】在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转， 当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中， 边交直线于点，边交轴于点（如图）. （1）求边在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当和平行时，求正方形 旋转的度数； （3）设的周长为，在旋转正方形 的过程中，值是否有变化？请证明你的结论. 【014】（1）解：∵点第一次落在直线上时停止旋转，∴旋转了. ∴在旋转过程中所扫过的面积为.……………4分 （2）解：∵∥，∴,. ∴.∴.又∵，∴