【专题复习】数列数列的极限与数学归纳法.docVIP

数列、数列的极限与数学归纳法 基础概念 复习策略 本章内容是中学数学的重点之一，它既具有相对的独立性，又具有一定的综合性和灵活性，也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点，因而历来是高考的重点． 高考对本章考查比较全面，等差、等比数列，数列的极限的考查几乎每年都不会遗漏．就近五年高考试卷平均计算，本章内容在文史类中分数占13％，理工类卷中分数占11％，由此可以看出数列这一章的重要性． 本章在高考中常见的试题类型及命题趋势： （1）数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系．关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，近几年命题严格按照《考试说明》，不要求较复杂由递推公式求通项问题． （2）探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明．探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求． （3）等差、等比数列的基本知识必考．这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题． （4）求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和． （5）将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所占的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查． 通过上述分析，在学习中应着眼于教材的基本知识和方法，不要盲目扩大，应着重做好以下几方面： 理解概念，熟练运算 巧用性质，灵活自如 典型例题 【考点一：数列的通项与它的前项和】 例1、只能被1和它本身整除的自然数（不包括1）叫做质数．41，43，47，53，61，71，83，97是一个由8个质数组成的数列，小王正确地写出了它的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数．试写出一个数满足小王得出的通项公式，但它不是质数，则________． 解析： ，，∴， ∴．显然当时有因数41，此时． 答案：1681 点评： 本题主要考查了根据数列的前项写数列的通项的能力．体现了根据数列的前n项写通项只能是满足前项但不一定满足其所有的性质的特点． 例2、已知等差数列中，，前10项之和是15，又记． （1）求的通项公式； （2）求； （3）求的最大值．（参考数据：） 解析： （1）由，得， ∴． （2） ． （3）解法一：，，由ln2=0.6931，计算，，所以极大值点满足，但，所以只需比较与的大小：，，∴． 解法二：数列的通项， 令（）（）， ∴． 点评： 求时，也可先求出，这要正确理解“”，其中应处在的表达式中的位置． 例3、已知数列的首项，前项和为，且（）． （1）证明数列是等比数列； （2）令，求函数在点处的导数，并比较与的大小． 解析： （1）由已知，∴时，． 两式相减，得，即，从而． 当时，，∴． 又，∴．从而． 故总有，． 又∵，∴．从而． 即是以为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）知，∵， ∴． 从而 由上 当时，式，∴； 当时，式，∴； 当时，． 又， ∴，即式，从而． 【考点二：等差数列与等比数列】 例4、有（）个正数，排成矩阵（行列的数表，如下图）． 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足： ，，， （1）求公比； （2）用表示； （3）求的值． 分析： 解答本题的关键首先是阅读理解，熟悉矩阵的排列规律，其次是灵活应用等差、等比数列的相关知识求解． 解析： （1）∵每一行的数列成等差数列．∴成等差数列．∴，． 又每一列的数成等比数列，，，∴，且，∴． （2）． （3）∵第列的数成等比数列． ∴． 记， 则， ， 两式相减，得， ∴，即． 例5、已知，分别是轴，轴方向上的单位向量，，，且（），在射线（）上从下到上依次有点，且（）． （1）求； （2）求，； （3）求四边形面积的最大值． 解析： （1）由已知，得， ． （2）由（1）知， ． ∵且，均在射线上，． ∴ ． （3）四边形的面积为：． 又，的底边上的高为． 又，到直线的距离为． ∴， 而， ∴， ∴． 点评： 本题将向量、解析几何与等差、等比数列有机的结合，体现了在知识交汇