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6.4《空间角和距离》错误解题分析 一、知识导学 1、掌握两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角，掌握上述三类空间角的作法及运算。 2、掌握给出公垂线的两条异面直线的距离、点到直线（或平面）的距离、直线与平面的距离及两平行平面间距离的求法。 二、疑难知识导析 1、求空间角的大小时，一般将其转化为平面上的角来求，具体地将其转化为某三角形的一个内角。 2、求二面角大小时，关键是找二面角的平面角，可充分利用定义法或垂面法等。 3、空间距离的计算一般将其转化为两点间的距离。求点到平面距离时，可先找出点在平面内的射影（可用两个平面垂直的性质），也可用等体积转换法求之。另外要注意垂直的作用。球心到截面圆心的距离由勾股定理得 4、球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长，关键在于画出经过两点的大圆以及小圆。 5、要注意距离和角在空间求值中的相互作用，以及在求面积和体积中的作用。 三、经典例题导讲 [例1]　平面外有两点A,B，它们与平面的距离分别为a,b，线段AB上有一点P，且AP:PB=m:n，则点P到平面的距离为_________________。 【错解】。 【错因】只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况。 【正解】 。 [例2]与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有______个。 【错解】4个。 【错因】只分1个点与3个点在平面两侧。没有考虑2个点与2个点在平面两侧。 【正解】7个。 [例3]一个盛满水的三棱锥形容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ） A、 　　　B、 　　　C、 　　　 D、 【错解】A、B、C。由过D或E作面ABC的平行面，所截体计算而得。 【正解】D。 当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多 最多可盛原来水得1－ [例4]斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB、AC都成450角，求这个三棱柱的侧面积。 【错解】一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过BC作平面与AA1垂直于M”；三是由条件“∠A1AB=∠A1AC∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线”不给出论证。 【正解】过点B作BM⊥AA1于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=450，MA为公共边，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=900，∴AA1⊥面BHC，即平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin450=a，∴BMC周长为2xa+a=(1+)a，且棱长为b，∴S侧=(1+)ab [例5]已知CA⊥平面α，垂足为A；AB α，BD⊥AB，且BD与α成30°角；AC=BD=b，AB=a。求C，D两点间的距离。 解?: 本题应分两种情况讨论： （1）如下左图。C，D在α同侧：过D作DF⊥α，垂足为F。连BF，则于是。 根据三垂线定理BD⊥AB得BF⊥AB。 在Rt△ABF中，AF= 过D作DEAC于E，则DE=AF，AE=DF=。所以EC=AC-AE= b-=。故 CD= (2)如上右图。C，D在α两侧时：同法可求得CD= 【点评】本题是通过把已知量与未知量归结到一个直角三角形中，应用勾股定理来求解。 [例6] （湖北卷）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。 （1）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为； （2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于。 并证明你的结论。 解：解法一（1）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，,连结OG，因为 PC∥平面，平面∩平面APC＝OG, 故OG∥PC，所以，OG＝PC＝。 又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面， 故∠AGO是AP与平面所成的角。 在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝。 所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为。 （2）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为 D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1， 又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP。 那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。 解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1) 所以 又由知，为平面的一个法向量。 设AP与平面所成的角为，则。依题意有解得。故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为。 （2）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，则Q(x，1－，1)