【考前大通关】高考数学(理)轮专题复习部分专题突破方略专题《极限数学归纳法》.docVIP

一、选择题 1．函数f(x)＝在x＝1处连续，则a的值为(　　) A．0　　　　　　　　　　　 B．1 C．－1 D．2 解析：选B.若f(x)在x＝1处连续， 则有f(x)＝ (－)＝ ＝a，解得a＝1，故选B. 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝(　　) A. B. C. D. 解析：选B.由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1， ∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an， ∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝an(n≥2)． 当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2， ∴a2＝＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝. 由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝. 猜想an＝. 3．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则 (＋＋…＋)＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：选C.＝＝＋i， 则解得a＝－6，所以 (＋＋…＋) ＝[(－)＋(－)2＋…＋(－)n]＝＝－. 4．已知a，b∈R，|a||b|，且 ，则a的取值范围是(　　) A．a1 B．－1a1 C．a－1或a1 D．－1a0或a1 解析：选D.∵|a||b|， 则 ＝[a＋()n]＝a， ＝[＋()n]＝. ∴a?0?－1a0或a1，故选D. 5．函数f(x)＝在点x＝1和x＝2处的极限值都是0，且在点x＝－2处不连续，则不等式f(x)0的解集为(　　) A．(－2,1) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2,1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(1,2) 解析：选C.由已知得f(x)＝，则f(x)0的解集为(－2,1)∪(2，＋∞)，故选C. 二、填空题 6．已知函数f(x)＝在点x＝0处连续，则a＝________. 解析：由题意得f(x)＝ (x2－1)＝－1，f(x)＝acosx＝a，由于f(x)在x＝0处连续，因此a＝－1. 答案：－1 7．在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N*，其中a，b为常数，则 的值为________． 解析：∵an＝4n－， ∴a1＝， 而数列{an}显然是等差数列， ∴Sn＝＝2n2－， ∴a＝2，b＝－， ∴ ＝1. 答案：1 8．(2010年高考上海卷)将直线l1：x＋y－1＝0、l2：nx＋y－n＝0、l3：x＋ny－n＝0(n∈N*，n≥2)围成的三角形的面积记为Sn，则Sn＝________. 解析：由得 则直线l2、l3交于点A(，)． 点A到直线l1的距离d＝ ＝＝. 又∵l1分别与l2、l3交于B(1,0)，C(0,1)， ∴BC＝，∴Sn＝AB·d＝. ∴Sn＝ ＝. 答案： 三、解答题 9．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)已知数列{an}的前n项和Sn＝(n2＋n)·3n. (1)求 ； (2)证明：＋＋…＋3n. 解：(1)因为 ＝ ＝ (1－)＝1－ ， 又 ＝ ＝， 所以 ＝. (2)证明：当n＝1时，＝S1＝63； 当n1时，＋＋…＋＝＋＋…＋ ＝(－)·S1＋(－)·S2＋…＋[－]·Sn－1＋·Sn＝·3n3n. 综上知，当n≥1时，＋＋…＋3n. 10．已知各项均为正数的数列{an}，a1＝a(a2)，an＋1＝，其中n∈N*. (1)证明：an2； (2)设bn＝，证明：bn＋1＝b. 证明：(1)运用数学归纳法证明如下： ①当n＝1时，由条件知a1＝a2， 故命题成立； ②假设当n＝k(k∈N*)时，有ak2成立． 那么当n＝k＋1时， ak＋1－2＝－2＝0. 即ak＋12，故命题成立． 综上所述，命题an2对于任意的正整数n都成立． (2)bn＋1＝＝ ＝＝b. 11．设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点(n，)都在函数f(x)＝x＋的图象上． (1)求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并证明你的猜想； (2)设An为数列{}前n项的积，是否存在实数a，使得不等式Anf(a)－对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 解：(1)∵点(n，)都在函数f(x)＝x＋的图象上， ∴＝n＋. ∴Sn＝n2＋an. 令n＝1得a1＝1＋a1， ∴a1＝2； 令n＝2得a1＋a2＝4＋a2， ∴a2＝4； 令n＝3得a1＋a2＋a3＝9＋a3， ∴a3＝6. 由此猜想：an＝2n(n∈N*)． 下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，由上面的求解知，猜想成立． ②假设n＝k时猜想成立，即ak＝2k成立， 那么，当n＝k＋1时，由条件知， Sk＝k2＋ak，Sk＋1＝(k＋1)2＋ak＋1， 两式相减，得ak＋1＝2k＋1＋ak＋1－ak