【题】计算单源最短路问题(Dijkstra算法)试题解析.docVIP

【题25】计算单源最短路问题（Dijkstra算法） 设G=（V，E）是一个有向图，它的每一条边（U，V）∈Ｅ都有一个权W（U，V），在G中指定一个结点V0，要求把从V0到G的每一个结点Vj(VＪ∈Ｖ)的最短有向路找出来（或者指出不存在从V0到Vj的有向路，即V0不可达Vj）。 输入 顶点数n n*n的带权矩阵 输出 有n行，每行为顶点序号i和V0到Vi的最短路长 题解 １.算法的基本思路 解决单源最短路径的基本思想是把图中所有结点分为两组 第一组：包括已确定最短路径的结点； 第二组：包括尚未确定最短路径的结点； 我们按最短路径长度递增的顺序把第二组的结点加到第一组中去，直至v0可达的所有结点都包含于第一组。在这个过程中，总保持从v0到第一组各结点的最短路径长度都不大于从v0至第二组任何结点的路径长度。另外，每一个结点对应一个距离值。第一组结点对应的距离值就是由v0到此结点的最短路径长度；第二组结点对应的距离值就是v0经由第一组结点（中间结点）至此结点的最短路径长度。具体作法是： 初始时v0进入第一组，v0的距离值为0；第二组包含其它所有结点，这些结点对应的距离值这样确定（设vi为第二组中的结点） 然后每次从第二组的结点中选一个其距离值为最小的结点vm加到第一组中。每往第一组加入一个结点vm，就要对第二组的各结点的距离值作一次修正（设vi为第二组的结点）： 若加进vm做中间结点使得v0至vi的路径长度更短（即vi的距离值vm的距离值+Wmi），vi的距离（vi的距离值←vm的距离值+Wmi）。修改后再选距离值最小的一个结点加入到第一组中，…。如此进行下去，直至第一组囊括图的所有结点或再无可加入第一组的结点存在。下面，我们来证明这个算法： 显然，初始时对两个组的划分及各结点距离值的确定符合上述基本思想。因此要证明算法正确性，关键是证明每次往第一组加入结点vm后，其两个组的划分及结点距离值仍然符合要求。也就是要证明第二组中距离值最小的结点vm，其距离值为v0到vm的最短路径长度，且vm就是第二组中路径长度最小的结点。我们来证明这两点： ⑴ 若vm的距离值不是从v0到vm的最短路径长度，另有一条v0经由第二组某些结点（其中第一个结点设为vs）到达vm的路径，其长度比vm的距离值更小，即 vs的距离值v0经由vs到vm的最短路径长度vm的距离值 与vm是第二组中距离值最小的结点矛盾。所以vm的距离值就是从v0到vm的最短路径长度。 ⑵设vx是第二组中除vm外的任何其它结点。若v0至vx的最短路径上的中间结点为第一组的结点，由距离值的定义可知，其路径长度势必大于等于v0至vm的最短路径长度；若v0至vx的最短路径不仅包含第一组的结点为中间结点。设路径上第一个在第二组的中间结点为vy，则v0至vy的路径长度就是vy的距离值，已大于等于v0至vm的最短路径长度，那么v0到vx的最短路径长度当然也不会小于v0到vm的最短路径长度了，所以vm是第二组中最短路径为最小的结点。 ２.变量说明 下面给出算法中的变量说明 设 n—图的结点数； adj—有向图的相邻矩阵。其中 dist—最短路径集合。其中 dist[i]．prev0至vi的最短路径上，vi的前趋结点序号； dist[i]．lengthv0至vI的最短路径长度，即vi的距离值； （1≤i≤n） Const n=图的结点数； Type path=record {路径集合的结点类型} length：real； {} pre：0n； {} end； var adj：array[1n，1n] of real {相邻矩阵} dist：array[1n] of path； {} ３.算法流程 计算单源最短路径的过程如下： fillchar(adj，s