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第七章 微分方程 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系可以对客观事物的规律进行研究。但在多数情况下，无法直接找到要研究的问题所需的函数关系，却比较容易建立起该函数及其导数的关系式，即微分方程。再通过解这种方程，就可得到该函数关系。微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。目前已广泛的应用于自然科学、工程技术、人口科学、经济学、医学等各个领域,已成为应用数学知识解决实际问题的重要手段。 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的解法。 微分方程的基本概念 一 引例 下面通过几个实例来说明微分方程的基本概念。 例1 一曲线y(y(x)通过点(1( 2)( 且在该曲线上任一点M(x( y)处的切线的斜率为2x( 求这曲线的方程( 解 根据导数的几何意义知( ( (1) 且y(y(x)满足下列条件( x(1时( y(2( (2) 把(1)式两端积分( 得 ( 即y(x2(C( (3) 其中C是任意常数( 把条件（2）代入(3)式( 得 2(12(C( 由此定出C(1( 把C(1代入(3)式( 得所求曲线方程 y(x2(1( （4） 例2 列车在水平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶( 当制动时列车获得加速度(0(4m/s2( 问开始制动后多少时间列车才能停住( 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米( 根据题意( 反映制动阶段列车运动规律的函数s(s(t)应满足关系式 ( (5) 此外( 未知函数s(s(t)还应满足下列条件( t(0时( s(0( ( (6) 把(5)式两端积分一次( 得 ( (7) 再积分一次( 得 s((0(2t2 (C1t (C2( (8) 这里C1( C2都是任意常数( 把条件t(0，v(20代入(7)得 20(C1( 把条件t(0，s(0代入(8)得 0(C2( 把C1( C2的值代入(7)及(8)式得 v((0(4t (20( (9) s((0(2t2(20t( (10) 在(9)式中令v(0( 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 (s)( 再把t(50代入(10)( 得到列车在制动阶段行驶的路程 s((0(2(502(20(50(500(m)( 上面的两个例子，尽管实际意义不相同，但解决问题的方法，都是归结为首先建立一个含有未知函数的导数的方程，然后通过所建立的方程，求出满足所给的附加条件的未知函数．这就是所谓的微分方程及其解微分方程。下面我们来介绍有关微分方程的一些基本概念。 二 微分方程的基本概念 1微分方程及其阶的概念( 一般的，凡表示未知函数、未知函数的导数（或微分）与自变量之间的关系的方程( 叫微分方程（简称方程）(未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程.如例1中的方程（1）和例2中的方程（5）都是常微分方程。未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程.本章只介绍常微分方程(以后未特殊说明常微分方程都简称为微分方程). 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数( 叫微分方程的阶( 例如方程（1）是一阶微分方程，方程（5）是二阶微分方程。 一般的，n阶微分方程表示为( F(x( y( y(( ( ( ( ( y(n) )(0