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上海市黄浦区2013届高三一模数学试题（理科） 参考答案 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题相应编号的空格内直接写结果，每填对得4分，否则一律得零分． ；　2．2；　3．； 4．3；　5．36；　6．； 　7．；　 8．；　 9．； 10．；　11．； 12．； 13．；　14．． 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题相应的编号规定区域内写出必要的步骤． ，由、分别为线段、的中点， 可得∥，故即为异面直线与所成的角．中，∵平面， 平面，∴， 在△中，，， ∴，∴ ． 所以异面直线EF与BC所成的角为．……… 6分 （2）在正方体中，由平面，平面， 可知，∵，是中点， ∴，又与相交，∴平面， …………………………9分 又， 故， 所以三棱锥的体积．A、B、C成等差数列，∴ 又,∴，　　　　　　　　　　　　　 …………………………2分 由得，，∴① ………………………4分 又由余弦定理得 ∴，∴　 ② ………………………6分 由①、②得， 　……………………………………8分 （2）由（1）得，∴，即， 故= ……………………………10分 =， …………………………12分 由且，可得，∴， 即，∴的取值范围为．　 …………………………14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）由△NDC∽△NAM，可得， ∴，即，……………………3分 故， ………………………5分 由且，可得，解得， 故所求函数的解析式为，定义域为． …………………………………8分 （2）令，则由，可得， 故 …………………………10分 ， …………………………12分 当且仅当，即时．又，故当时，取最小值96． 故当的长为时，矩形的面积最小，最小面积为平方米． …………14分 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 解：（1）由题意知，且，可得， 故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为． ………………4分 （2）由题意，可设，则有， 又A点坐标为，故， 故 , …………………………8分 又，故， 所以的取值范围是． …………………………10分 （3）设，则． 当时，，则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有． 当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为， 则的方程为，代入椭圆方程可得 ，即， 由， …………………………13分 可得，其中， 设的斜率分别为，则是上述方程的两个根， 故，即． 综上可知，对于椭圆上的任意点，都有．　…… …………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分． 解：（1）由题意知恒成立，令， 可得，∴是公差为1的等差数列， 故，又，故． ………………………………3分 （2）当时，，令，可得， 解得，即时，， ………………………4分 故在上的取值范围是． 又是的一个“P数对”，故恒成立， 当时，， …， …………………6分 故为奇数时，在上的取值范围是； 当为偶数时，在上的取值范围是． …………………8分 所以当时，在上的最大值为，最小值为3； 当为不小于3的奇数时，在上的最大值为，最小值为； 当为不小于2的偶数时，在上的最大值为，最小值为．………10分 （3）由是的一个“类P数对”，可知恒成立， 即恒成立，令，可得， 即对一切恒成立， 所以…， 故． …………………………………14分 若，则必存在，使得， 由是增函数，故， 又，故有．…………………………………18分