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2013年暑期高二数学 行列式初步 §9.1.1 二阶行列式(1)——二阶行列式 一．引入 观察二元一次方程组的解法，设二元一次方程组 用加减消元法来解， ; 当时，有. 二. 定义二阶行列式及展开 用记号来表示算式,即. 说明:二阶行列式表示的是四个数的一种特定的算式 思考与运用 1. 解方程:. 解: . 2. 求函数的值域. 解: . 3．行列式(a，b，c，d∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________． 解析：＝ad－bc，则a＝d＝2，bc＝－2时，取最大值为6. 答案：6 三. 利用二阶行列式解二元一次方程组 将和分别用行列式来表示,可以表示为和,即 ,,, 于是上述二元一次方程组的解可以表示为 (). §9.1.2 二阶行列式(2)——作为判别式的二阶行列式 一．练习与复习 (一)展开下列行列式: 1. ; 2. ; 3. ; 4. . (二)解下列方程组 1. ; 2. ; 3. 无解; 4. 无穷多解. 二. 作为判别式的二阶行列式 通过加减消元法将二元一次方程组化为, 当时,方程组有唯一解 当时,若,中至少有一个不为零,则方程组无解; 若,则方程组有无穷多解. 感受与体验 P10 练习9.1(2) 1; P10 习题9.1 3 思考与运用 例 解关于的二元一次方程组,并对解的情况进行讨论:. 解: ,,, 当,即且时有唯一解; 当时,,而,方程组无解; 当时,,且,方程组有无穷多解. □ 三. 拓展与提高 例1 已知三角形的三个顶点坐标分别为,,,试用行列式表示三角形的面积. . □ 例2 （1）计算行列式、、的值； （2）从上述结果中得出一个一般的结论，并证明. 解: (1) 均为0; (2) ,证明:. 同理 □ §9.2.1 三阶行列式(1)——三阶行列式的展开(1) 一. 三阶行列式的概念 用记号表示算式,称为三阶行列式. 二. 三阶行列式的展开 (一) 按对角线展开 例 计算三阶行列式. 解: . 感受与体验 P12 练习9.2(1) (二)按一行(或一列)展开 1. 余子式 把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去,将剩下的元素按原来的位置关系组成的二阶行列式称为该元素的余子式. 例如和分别是中元素和的余子式. 2. 代数余子式 把余子式添上相应的符号,某元素所在行列式中的位置第行第列,该元素的代数余子式的符号为 例如和分别是中元素和的代数余子式. 注：各元素代数余子式的符号如图所示: 3. 按一行(或一列)展开 例 按第一行和第一列展开行列式. 解: 按第一行展开:; 按第一列展开: . 感受与体验 P15 练习9.2(2) 1; 2 §9.2.2 三阶行列式(2)——三阶行列式的展开(2) 一.复习按对角线或按一行（一列）展开三阶行列式的方法 完成练习 P21 习题 9.2 1 (用适当的方法) 二.例题与练习 例1 若行列式,求的值. 解: . □ 例2 已知行列式,求的值. 解: . □ 例3 已知,若,求的取值范围. 解: . □ 例4 把下面的算式写成一个三阶行列式: (1); (2). (答案不唯一) □ 例5 验证三阶行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积之和为零. 解: 例如三阶行列式的第二行元素分别与第一行的元素的代数余子式相乘,即 . □ 例5 在直角坐标系中,不在一直线的三点:,,依逆时针顺序排列. (1)探求用行列式表示的面积公式; (2)当三点依顺时针顺序排列式, 的面积公式有何变化? 解: (1)记梯形的面积分别为, ,同理有 ,,则 (2). [说明] 本例可得两个结论: 定点坐标分别为,,的的面积为; 平面上三点,,共线的充要条件为. 三.布置作业 §9.2.3 三阶行列式(3)——三元一次方程组的行列式解法 一. 复习二元一次方程组的行列式解法及解的情况的判别方法 对于二元一次方程组当时,方程组有唯一解;当时,若,中至少有一个不为零,则方程组无解;若,则方程组有无穷多解. 二. 三元一次方程组的行列式解法 对于三元一次方程组,记其系数行列式为, 用中第一列元素的代数余子式依次乘以方程组的各方程,得 , , , 将上述三个等式相加,得 ， 其中记，则,同理可得 ，， 于是方程组当时有惟一解. 例 解三元一次方程组:. 解: ,,,,