不等式(答案).docVIP

不等式及其性质 一. 学习目标： 1、掌握并能运用不等式的性质，灵活运用实数的性质；掌握比较两个实数大小的一般步骤． 2、正确应用不等式的性质，对数与式的大小判定须进行严格的证明后方可下结论，不能凭估计就去断言它们之间的大小． 二. 知识要点： （1）两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：ab；ab；a＝b； ；；． 以此可以比较两个数（式）的大小，叫作差比较． 而作商比较是：；． （2）可加性：；反之不可；反之不可． （3）可乘性：；；反之不可． （4）反之不可． （5）可除性：反之不可； （6）关于乘方：反之不可； 若n为正奇数，则有： （7）关于开方：反之不可；可用反证法证之． 若n为正奇数，则有： 【典型例题】 例1. 对于实数，判断以下命题的真假： 1、若ab，则. 2、若ab，则. 3、若，则. 4、若，则. 5、若ab0，dc0，则 解：1. 假 2. 假 3. 假 4. 真。略证：； 5. 真．略证：． 例2. 若，比较与的大小。 解： ∵ ∴ 与不同时为零 ∴ ∴ 时， 时， 例3. 已知：且，，比较与的大小。 解： （1）时， ∵ ∴ ∴ 又 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 例4. 设a0，b0且，试比较aabb与abba的大小。 解：根据同底数幂的运算法则，可考虑用比值比较法。 当ab0时，， 则，于是aabbabba 当ba0时，， 则，于是aabbabba 综上所述，对于不相等的正数a，b，都有aabbabba 例5. 已知，且，试求的取值范围． 解： ， ∴， 例6. 已知函数是（－∞，＋∞）上的增函数，。 （1）证明命题：若，则； （2）判断（1）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论。 证明：（1） 又 两式相加，得 （2）假设， 那么 这与已知矛盾，故只有时成立，因此逆命题成立。 例7.若、、满足，，比较、、的大小。 解： ∴ 又 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 例8.已知实数a，b，c满足条件：，其中m是正数，对于f（x）＝ax2＋bx＋c。 （1）如果，证明： （2）如果，证明：方程f（x）＝0在（0，1）内有解。 证明：（1） 所以 （2）由于f（0）＝c，f（1）＝a＋b＋c， 当a0时， 因为，所以 若c0，f（0）＝c0，所以方程f（x）＝0在内有解， 若c≤0， 所以方程在内有解 当a0时，同理可证 故时，方程f（x）＝0在（0，1）内有解 本讲涉及的主要数学思想方法： 1、比较法常用的有作差比较法与作商比较法两种，作商法比较同号两式大小时，商是与1而不是与0比较大小。 2、用反例判定假，用严格证明判定真，在不等式中尤其多用．两数或两式的大小关系只有以下三者之一：大于，小于或等于。 均值不等式 一、学习目标 1. 掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，并会简单运用； 2. 利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”. 二、知识要点 1、算术平均数：如果，那么叫做这两个正数的算术平均数。 2、几何平均数：如果，那么叫做这两个正数的几何平均数。 3、定理：如果，那么（当且仅当a=b时取“=”号） 4、均值定理：如果，那么（当且仅当a=b时取“=”号） 5、基本不等式：若，则 当且仅当a=b时取“=”号 【典型例题】 例1、若，试比较P，Q，R的大小。 解： ， 即Q 又， 即 例2、已知且a+b=1 求证： 证一： 证二：因为且a+b=1， 所以， 例3、已知a，b为实常数，求函数的最小值。 解： 另解： 当且仅当x-a=b-x，即时， 例4、（1）设，求的最大值。 （2）已知，求函数的最大值。 解：（1）∵ ∴ ∴ 当 即时， （2） 当且仅当，即x=1时“=”成立 当x=1时 例5、已知为正数， 若，求的最小值； （2）若，求证：。 解：（1）∵ ∴ 当且仅当时，上式取等号， 所以的最小值为 （2） 当且仅当时，上式取等号 例6、某客运公司买了每辆万元的大客车投入运营，根据调查得知，每辆客车每年客运收入约为万元，且每辆客车第年的油料费、维修费及其他各种管理费用总和（万元）与年数成正比，又知第3年每辆客车的上述费用是该年客运收入的48%。 （1）写出每辆客车运营的总利润y（万元）与n的函数表达式； （2）每辆客车运营多少年可使其运营的年平均利润最大？ 解：（1）根据第n年的各种费用总和P（n）与年数n成正比， 设P（n）=kn，k为常数 ∵ 第3年费用是该年客运收入的48%，则 ∴ ，