不等式选义.docVIP

不等式选讲 1、不等式的基本性质 ①（对称性） ②（传递性） ③（可加性） （同向可加性） （异向可减性） ④（可积性） ⑤（同向正数可乘性） （异向正数可除性） ⑥（平方法则） ⑦（开方法则） ⑧（倒数法则） 2、几个重要不等式 ①,（当且仅当时取号）. 变形公式： ②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）. 变形公式： 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）. ④ （当且仅当时取到等号）. ⑤ （当且仅当时取到等号）. ⑥（当仅当a=b时取等号） （当仅当a=b时取等号） ⑦，（其中 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧ ⑨绝对值三角不等式 3、几个著名不等式 ①平均不等式：，，当且仅当时取号）. （即调和平均几何平均算术平均平方平均）. 变形公式： ②幂平均不等式： ③二维形式的三角不等式： ④二维形式的柯西不等式： 当且仅当时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式： ⑥一般形式的柯西不等式： ⑦向量形式的柯西不等式： 设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立. ⑧排序不等式（排序原理）： 设为两组实数.是的任一排列，则（反序和乱序和顺序和），当且仅当或时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数） 若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有 则称f(x)为凸（或凹）函数. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如 ②将分子或分母放大（缩小）， 如 等. 5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 （时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 7、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 8、指数不等式的解法： ⑴当时, ⑵当时, 规律：根据指数函数的性质转化. 9、对数不等式的解法 ⑴当时, ⑵当时, 规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法： ⑵平方法： ⑶同解变形法，其同解定理有： ① ② ③ ④ 例1.已知的解集为，则的值分别为_____ 例2已知集合A=，B=，则=_____ 例3.设，那么下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 例4.已知，则之间的大小关系是___ 例5.设函数____;若，则x的取值范围是____ 例6.若不等式对于一切非零实数x均成立，则实数的取值范围是____ 3、不等式的证明方法 （1）比较法：依据ab?a－b0，ab?a－b0来证明不等式的方法称作比较法． 4、柯西不等式 一、二维形式的柯西不等式 二、二维形式的柯西不等式的变式 三、二维形式的柯西不等式的向量形式 例7：设a、b、c为正数，求的最小值。 例8： 设x，y，z ( R，且满足x2 ( y2 ( z2 ( 5，则x ( 2y ( 3z之最大值为　　　　　 例9：设，试求的最大值与最小值。 例10：设，试求之最小值。 例11： 设a，b，c均为正数且a ( b ( c ( 9，则之最小值为　　　　　 例12：设空间向量的方向为(，(，(，0 ( (，(，( ( (，csc2( ( 9 csc2( ( 25 csc2( 的最小值为　　　　　。 例13：设( (1，0，( 2)，( (x，y，z)，若x2 ( y2 ( z2 ( 16，则的最大值为　　　　　。 参考答案 例1 3，6 例2 -2，0或2到4 例3 C 例4 m小于等于n 例5 大于等于负1小于等于1 例6 （1，3） 例7 121 例