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费马大定理：一个困惑了世间智者358年的谜（已证成立） 发现 　　费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文: Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.）毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。 　　对很多不同的n，费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍对费马大定理一筹莫展。 奖励 　　德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。 　　莫德尔猜想 　　1983年，联邦德国数学家伐尔廷斯证明了莫德尔猜想，从而翻开了费马大定理研究的新篇章．获得1982年菲尔兹奖 　　伐尔廷斯于1954年7月28日生于联邦德国的杰尔森柯琛，并在那里渡过了学生时代，而后就学于内斯涛德教授门下学习数学．1978年获得博士学位．他作过研究员、助教，现在是乌珀塔尔的教授．他在数学上的兴趣开始于交换代数，以后转向代数几何． 　　1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫做莫德尔猜想．按其最初形式，这个猜想是说，任一不可约、有理系数的二元多项式，当它的“亏格”大于或等于2时，最多只有有限个解．记这个多项式为f(x，y)，猜想便表示：最多存在有限对数偶xi，yi∈Q，使得f(xi，yi)=0． 　　后来，人们把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个猜想了．因此，伐尔廷斯实际上证明的是：任意定义在数域K上，亏格大于或等于2的代数曲线最多只有有限个K一点． 　　数学家对这个猜想给出各种评论，总的看来是消极的．　1979年利奔波姆说：“可以有充分理由认为，莫德尔猜想的获证似乎还是遥远的事．” 　　对于“猜想”，1980年威尔批评说：“数学家常常自言自语道：要是某某东西成立的话，‘这就太棒了’(或者‘这就太顺利了’)．有时不用费多少事就能够证实他的推测，有时则很快否定了它．但是，如果经过一段时间的努力还是不能证实他的预测，那么他就要说到‘猜想’这个词，既便这个东西对他来说毫无重要性可言．绝大多数情形都是没有经过深思熟虑的。”因此，对莫德尔猜想，他指出：我们稍许来看一下“莫德尔猜想”．它所涉及的是一个算术家几乎不会不提出的问题；因而人们得不到对这个问题应该去押对还是押错的任何严肃的启示． 　　然而，时隔不久，1983年伐尔廷斯证明了莫德尔猜想，人们对它有了全新的看法．在伐尔廷斯的文章里，还同时解决了另外两个重要猜想，即台特和沙伐尔维奇猜想，它们同莫德尔猜想具有同等重大意义． 　　这里主要解释一下莫德尔猜想，至于证明就不多讲了．　所谓代数曲线，粗略一点说，就是在包含K的任意域中，f(x，y)=0的全部解的集合． 　　令F(x，y，z)为d次齐次多项式，其中d为f(x，y)的次数，并使F(x，y，1)=f(x，y)，那么f(x，y)的亏格g为 　　g≥(d-1)(d-2)/2 　　当f(x，y)没有奇点时取等号． 　　费马多项式x^n+y^n-1没有奇点，其亏格为(n-1)(n-2)/2．当n≥4时，费马多项式满足猜想的条件．因此，xn+yn=zn最多只有有限多个整数解． 　　为什么猜想中除去了f(x，y)的亏格为0或1的情形，即除去了f(x，y)的次数d小于或等于3的情形呢？我们说明它的理由． 　　d=1时，f(x，y)=ax+by+c显然有无穷多个解． 　　d=2时，f(x，y)可能没有解，例如f(x，y)=x2+y2+1；但是如果它有一个解，那么必定有无穷多个解．我们从几何上来论证这一点．设P是f(x，y)解集合中的一点，令l表示一条不经过点P的直线(见上图)．对l上坐标在域K中的点Q，直线PQ通常总与解集合交于另一点R．当Q在l上取遍无穷多个K—点时，点R的集合就是f(x，y)的K—解的无穷集合．例如把这种方法用于x2+y2-1，给出了熟知的参数化解： 　　当F(X，Y，Z)为三次非奇异(即无奇点)曲线时，其解集合是一个所谓椭圆曲线．我们可用几何方法做出一个解的无穷集．但是，对于次数大于或等于4的非奇异曲线F，这种几何方法是不存在的．虽然如此，却存在称为阿贝尔簇的高