丘成桐院士演：现代几何的发展——丘成桐.docVIP

丘成桐院士演讲：现代几何的发展 丘成桐 记录：林信安（师大数研所一年级） 今天我要讲讲几何的发展，当然这其中有些是我个人的观点，不一定每个人会同意。谈到几何的对象与方法可分为动态与静态两方面，静态就是几何图形，动态是指几何图形经过运动而成为另一个几何图形的过程，目前尚未了解很多。 几何的研究与自然现象是很贴近的，亦与基本物理、工程有着密切的关系，自然界的现象可分为抽象美的几何、基本物理、工程，几何就是从这三方面推导出来的，而几何的研究也会影响这三方面的研究，总而言之，这三方面对几何的影响是互相的。从前埃及时代主要研究平面、立体几何，这当然是因为有工程上的需要，顺着科学的发展，到了牛顿力学发展后，平面几何已不够去描述运动现象，于是有微积分的产生，有了微积分，就可以讨论曲线、曲面；另一方面，Euler、Lagrange 为了应用积分到流体，因而有了变分法的发展。18世纪变分法引进几何，是几何上重大的发展，这影响到了后来微分几何的研究。 18世纪微分几何的问题是集中在研究曲线（直线与平面的关系），另一方面也开始研究一个嵌入 R3 的曲面 ，这是从 Gauss 开始的，Gauss 对微分几何主要的贡献是研究 Gauss 曲率与内在几何间的关系。内在性是指只与度量有关而与曲面在空间中写法无关，例如一张纸曲率 K=0，将其卷起来，intrinsic geometry，不变曲率 K=0，但 extrinsic geometry 有变化，而 Gauss 就是证明了 Gauss 曲率为 intrinsic geometry 的不变量。另一方面 Complex Analysis 的引进，对微分几何的研究有很深的影响，Complex Analysis 的引进，对微分几何的研究有很大的影响，Complex Analysis 是为了研究流体力学，而发展出来的；Lobatchevsky 研究曲率 K= -1 的双曲空间，这个研究与平行公理有很大的关系，这是几何发展的重要里程碑。 19世纪 G.B. 黎曼继承 Gauss 的思想，将 2 维的曲面之研究，推广到高维空间上，而形成了黎曼空间，这个空间形成之后，为几何的研究开启了新的一页。 (M1,d1)(M2,d2) 何时可以将他们看成同一空间，即何时可找到 使距离没有变化，i.e. ，例如将卷起来的纸摊平 这是几何上一个很重要的问题，是唯一性的问题。一般而言，曲率 K 是一个重要的 invariant。例如，一张平坦的纸 K=0 无论如何不能相等于球面 K=1，后来又引进了连络 (connection)，这是微分的推广，主要是 Christoffel，Ricci，Levi-Civita 等人的贡献，它们不是在平坦的空间中研究微分的问题，发现一般平坦的空间 ， ，但是在不平坦的曲面上 与曲面的曲率有关。 19世纪末期，Flex Klein 认为大部分的微分几何可用李群（或离散群）去解释，很多几何对象可看成 homogeneous space，当初很多人认为很多微分几何的现象不能看成变换群，到了 E. Cartan 对李群的分类有很大的影响，他引进了活动标架法，20世纪初期，Cartan、Flex Klein 对几何的看法与 Gauss、黎曼的几何方法结合，才得出一种新的方法-活动标架法。 Poincaré 考虑变分法在微分几何上的应用，他是考虑测地线 (geodesic)的问题：在 R3 上的封闭曲面上，找一条封闭的测地线，例如 在球上的大圆 Morse 则将此问题考虑到高维度上，如何去找封闭测地线，有关测地线的问题尚有，在二维的封闭曲面上至少有3条不相交的封闭测地线，这是很有名的问题，直到最近才有较详细的证明。 Morse 理论在微分几何，工程上有很大的贡献，开始了微分几何上大范围的几何研究。测地线的问题在高维度上的推广是最小曲面 (minimal surface) 的问题，最初是 Weierstrass 引进 Complex Analysis 的方法，这是 Complex Analysis 影响微分几何的一个例子。 从测地线，最小曲面的研究，微分方程开始对微分几何的研究产生影响，近十年来，这方面的 发展尤其神速，但对非线性拋物型偏微分方程我们尚不明了，因此对于动态的几何并不清楚。例如 Rauch 考虑固定两点的测地线，研究不是最短距离的测物线，而考虑index理论经过扰动 (Perturbation) 后的情形，而 index 理论是由 O.D.E 中的 Sturm-Liouville 来的，Rauch 发现曲率与拓朴性间有密切的关系，这是从 Morse 理论得到的。 在大域几何方面，Gauss-Bonnet 定理 ，（其中 M 为定向二维