两点间距离公式`线段的定比分点与图形的平移doc.docVIP

5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移 ●知识梳理 1.设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则=（x2－x1，y2－y1）. ∴||=. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P1，P，P2坐标间的关系.应注意：（1）点P是不同于P1，P2的直线P1P2上的点；（2）实数λ是P分有向线段所成的比，即P1→P，P→P2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式（λ≠－1）. 3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系， 特别提示 1.定比分点的定义：点P为所成的比为λ，用数学符号表达即为=λ.当λ＞0时，P为内分点；λ＜0时，P为外分点. 2.定比分点的向量表达式： P点分成的比为λ，则=+（O为平面内任一点）. 3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. ●点击双基 1.（2004年东北三校联考题）若将函数y=f（x）的图象按向量a平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为 A.y=f（x+1）－2 B.y=f（x－1）－2 C.y=f（x－1）+2 D.y=f（x+1）+2 解析：由平移公式得a=（1，2），则平移后的图象的解析式为y=f（x－1）+2. 答案：C 2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y2－4y=4x，则向量a为 A.（－1，2） B.（1，－2） C.（－4，2） D.（4，－2） 解析：设a=（h，k），由平移公式得 代入y2=4x得 （－k）2=4（－h），2－2k=4－4h－k2， 即y2－2ky=4x－4h－k2， ∴k=2，h=－1. ∴a=（－1，2）. 答案：A 思考讨论 本题不用平移公式代入配方可以吗? 提示：由y2－4y=4x，配方得 （y－2）2=4（x+1）， ∴h=－1，k=2.（知道为什么吗?） 3.设A、B、C三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A点分所得的比为 A. B. C.－ D.－ 解析：设A点分所得的比为λ，则由2=，得λ=－. 答案：C 4.若点P分所成的比是λ（λ≠0），则点A分所成的比是____________. 解析：∵=λ，∴=λ（－+）.∴（1+λ）=λ. ∴=.∴=－. 答案：－ 5.（理）若△ABC的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC的重心坐标为____________. 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）， 则 ∴ ∴重心坐标为（－，）. 答案：（－，） （文）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点M分有向线段的比为3∶2，则m的值为____________. 解析：设M（x，y），则x===3，y===5，即M（3，5），代入y=mx－7得5=3m－7，∴m=4. 答案：4 ●典例剖析 【例1】 已知点A（－1，6）和B（3，0），在直线AB上求一点P，使||=||. 剖析：||=||，则=或=.设出P（x，y），向量转化为坐标运算即可. 解：设P的坐标为（x，y），若=，则由（x+1，y－6）=（4，－6），得 解得 此时P点坐标为（，4）. 若=－，则由（x+1，y－6）=－（4，－6）得 解得 ∴P（－，8）.综上所述，P（，4）或（－，8）. 深化拓展 本题亦可转化为定比分点处理.由=，得=，则P为的定比分点，λ=，代入公式即可；若=－，则=－，则P为的定比分点，λ=－. 由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法. 【例2】 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（3，4），C（－1，2），BD是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长. 剖析：∵A、C两点坐标为已知，∴要求点D的坐标，只要能求出D分所成的比即可. 解：∵|BC|=2，|AB|=，∴D分所成的比λ=. 由定比分点坐标公式，得 ∴D点坐标为（9－5，）. ∴|BD|==. 评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化. 深化拓展 本题也可用如下解法：设D（x，y），∵BD是∠ABC的平分线， ∴〈，〉=〈，〉. ∴， 即=. 又=（1，－3），=（x－3，y－4），=（－4，－2）， ∴=. ∴（4+）x+（2－3）y+9－20=0. ① 又A、D、C三点共线，∴，共线. 又=（x－4，y－1），=（x+1，y－2）， ∴（x－4）（y－2）=（x+1）（y－1）. ② 由①②可解得