两点间距离再思考.docVIP

我们已经学过“两点之间，线段最短”这个数学公理了。这看似简单的八个字蕴涵着许多奥妙，将它扩展、延伸可得到一个最短路径问题、即求连接A、B两点的线段中哪一条最短。 　　当A、B在同一平面内时，即使是从北京到天津，我们也可以轻松地利用“两点之间，线段最短”得出线段AB是A、B两点间的最短路径（如图1-1）。 　　有人会说：“这也太简单了！”别着急，请看下面这道题（如图2-1）： 图2-1 　　有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近。这道题乍一看似乎无从下手。但经过观察可以发现此题依然可以利用“两点之间，线段最短”来解决问题，具体方法为：做B点与河面的对称点B＇,连接AB＇，可得到马喝水的地方C（如图2-2）。 图2-2 　　再连接CB得到这道题的解A→C→B。这就是著名的“将军饮马”问题。不信的话你可以在河边任意取一点C＇连接AC＇和C＇B，比较一下就知道了。 　　明白了刚才的平面问题，接下来看看立体图形问题（如图3-1）。 图3-1 　　求点A到点C＇的最短路径是那一条。此时已不在同一平面内，不能直接利用公理解决问题。此时，就要利用数学中的转化思想，把立体图形转化成平面图形来研究（如图3-2）。 图3-2 　　从而得到两条最短路径：A→BC→C＇和A→CD→C＇。同理，还可以得出6条最短路径来(如图3-345)。 图3-3 　　 图3-4 　　 图3-5 　　分别为：A→BC→C＇、A→CD→C＇、A→DD＇→C＇、A→BB＇→C＇、A→A＇D＇→C＇、A→A＇B＇→C＇。 　　探究问题一：已知，A，B在直线L的两侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。（如图所示） 　　解：根据两点之间线段最短的基本概念，只用连接AB即可轻松的得到答案。如图所示。线段AB与直线L的交点，就是题目要求的点P。 　　总结：本题虽然十分简单，但却是所有有关本类题目难题的基础，是必须要牢记与掌握的。下面一题，就是上一题的变形。 　　探究问题二：已知，A，B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。（如图所示） 　　解：本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想，往往大家不能正确的找到解题的思路。那么，我就在此抛砖引玉，说说我的看法。首先，作点B关于L的对称点B＇，（如图所示），因为OB＇=OB,∠BOP=∠B＇，OP=OP，所以△OPB≌△OPB＇。所以，PB=PB＇。因此，求AP+BP就相当于求AP+PB＇。这样，复杂的问题便通过转化变得简单，成了探究问题一。因此只用连接AB＇即可，与直线L的交点，就是题目要求的点P。 　　结论：我们完全也可以把以上的结论当作一个模块牢记下来，成为自己解题的方法之一。 　　探究问题三：A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小。(如图所示) 　　解：利用探究问题二的结论，作A与OM的对称点D，再作A与ON的对称点E。连接DE（如图所示），据上题铺垫，我们可得，AB=BD，AC=CE，又因为D，B，C，E在一条直线上，所以，这时的周长是最短的。 　　总结：本题可总结为“三角形的一点决定”。下面我们看一看四边形一边确定。 　　探究问题四：AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小。（如图所示） 　　解：有了上一题的铺垫，本题似乎简单了许多，作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF即可。如图。ABCD便是周长最小的。 　　（2）下面我把上一题简单变形，把锐角变为直角，大家再看，本图有没有似曾相识之感？对了，我们见过的，只用把两条直角边所在直线看作是一个平面直角坐标系，再把AB两点固定位置，这样，就变为了月考附加题中的最后一题。 　　原题：在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0， n）、D(m,o),当四边形ABCD的周长最短时，求m/n的值。 　　解：依题意画图得： 　　　　　 　　由探究问题四得知，作B关于Y轴的对称点B＇，A关于X轴的对称点A＇。连接A＇B＇，他们与X轴，Y轴的交点便为所求。如图所示，过A＇与B＇两点的直线的函数解析式可求。设过A＇与B＇两点的直线的函数解析式为y=kx+b. 　　依题意得：-8k+b=-3, 4k+b=5 　　解得，k=2/3,b=7/3 　　所以，（0,n）为（o,7/3） 　　(m,o)为(-3.5,o) 　　所以，m/n=-2/3 　　以上，便就是我对此问题的一些想法，复杂费解的问题是不是简单了许多？好理解了许多呢？