中国工程热物理学会会传热与传质分会议论文分离变量法求解维导热火积的解析解.docVIP

中国工程热物理学会 传热传质学 学术会议论文 编号：123490 分离变量法求解一维导热火积的解析解 王焕光,淮秀兰 （中国科学院工程热物理研究所，北京，100190） （TEL:010 E-Mail:hxl@iet.cn） 摘 要 火积是传热学中一个较新的概念，描述了物体传热能力，但作为基础性概念，火积在热传导问题中的解析解尚不充足，文献中仅仅是从热力学的角度，研究其初末状态的差值。本文根据分离变量法所采用特征函数正交性的特点，对总体火积耗散随时间的变化关系进行化简，得出了一维热传导问题火积耗散的简化解析表达式，并以一实例说明物性对火积耗散的影响规律，从而从传热学的角度得到：热导率越大，火积耗散越快；同时，热扩散系数越大，火积耗散越快。 关键词 火积耗散；分离变量；火积耗散速率 0 前言 场协同原理[1]与火积耗散理论[2-3]是当今传热传质领域比较新的概念，场协同原理主要解决对流换热的优化问题，而火积耗散理论主要解决热传导的优化问题，比如过院士提出的“体点”问题[2-3]。文献[4-6]将火积耗散理论应用于对流换热，提出了换热器优化的新的评价标准——火积耗散数，以及换热器优化的新原理——火积耗散均匀分布原则。文献[7]对火积的微观本质进行了研究，指出熵与火积在热力学上，具有“殊途同归”的地位，均可以用来描述不可逆性，并得出对于任意孤立系统，其熵将增加而其火积将减小。在文献[8]中进一步得到了火积与微观状态数的关系，从而将火积与熵的关系做了进一步的解释。 由此可见，火积是一个非常有活力的概念，其中即有应用方面的成果[4-6]，也有基础理论上的成果[7-8]。而作为一个新的基本概念，往往后者的意义更重要。现有的文献中，对火积的变化量——火积耗散关注得较多，即初末状态的差值；而作为一状态量，火积随时间的变化过程则很少被关注。因此，现有文献对火积的认识还是属于热力学的范畴，比如：文献[2-3]中给出了如图1所示的一维导热由初始状态变化到平衡状态的火积耗散的解。 但根据过院士的观点，火积体现了物质的传热能力，因此，对于火积更应该从传热学的角度进行研究。另外，作为非平衡过程的换热器内的传热，在应用火积进行优化时，也应该从传热学的角度对火积进行研究。但由于火积的表达式比较复杂，传热过程火积随时间变化的解析解还比较少。 文献[7]对此问题的求解属于传热学的观点，但为一种简化的集总参数法，即认为热阻主要集中于接触热阻，而物质内部的温度场认为是均匀的，从而能够得到与电荷传输形式类似的结果，即火积耗散速率随时间按简单指数规律衰减。但热传导与电传导的一个很大的不同就是物体在充当热容的同时，也起到热阻的作用，因此，实际的热传导过程，温度场往往是各阶指数函数叠加的级数形式[9]。而温度场的这种复杂形式增加了火积的表达式的复杂程度。 图1 传热模型[1] Fig. 1 Heat conduction model 本文根据分离变量法所采用的特征函数的正交性，对一维热传导问题的火积进行了化简，从而得到了整体火积耗散的简化解析形式。 1 一维热传导火积的一般形式 根据文献[9]中的结论，对于有限长度一维导热问题，其解析解可以表示为式(1)所示的级数形式，其中βm为分离变量后控制方程的m阶特征值，X为m阶特征函数，而cm为m阶特征函数的系数；α为热扩散系数。 (1) 根据文献[2-3]，整个区域内的火积耗散总量ΔJ为式(2)所示。可见需要对温度梯度的平方进行求解，该温度场的梯度如式(3)所示，温度梯度的平方如式(4)所示，其中Xx为特征函数X对x的导数，λ为物体的热导率。 (2) (3) (4) 现将(4)式代入(2)式得到式(5)，由于被积函数已经分离变量，因此，可以将式中的二重积分化为一重积分的乘积形式，如式(6)所示。 (5) (6) 而(6)式中对x的积分项，恰可以利用特征函数本身的正交性进行化简，如式(7)所示。其中，L为物体的长度，N为特征函数的范数，因此方程(6)所示的二重级数可以化为简单级数，如式(8)所示。 (7) (8) 2 一维热传导问题算例 现仍然以图1所示的热传导问题为例进行求解，假设两个物体的物性均相同，热容、质量、热导率分别为Cp、M、λ，温度分别为T1、T2，T1T2。两物体接触后，只在接触面上发生传热，其余各面均为绝热。 则平衡后两物体的温度为两初始温度的算术平均值，则传热前后的总的火积耗散为式(9)所示，此结果即为热力学观点下的火