山东省郯城第三中学高一数学《向量数乘运算及其几何意义》教案.docVIP

山东省郯城第三中学高一数学《向量数乘运算及其几何意义》教案 教学目的： 1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义； 2.掌握实数与向量的积的运算律； 3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行. 教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件 教学难点：对向量共线的充要条件的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 差向量的意义： = , = , 则= ( 即 ( 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量 二、讲解新课： 1．示例：已知非零向量，作出++和(()+(()+(() ==++=3 ==(()+(()+(()=(3 （1）3与方向相同且|3|=3||；（2）(3与方向相反且|(3|=3|| 2．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ （1）|λ|=|λ||| （2）λ0时λ与方向相同；λ0时λ与方向相反；λ=0时λ= 3．运算定律 结合律：λ(μ)=(λμ) ① 第一分配律：(λ+μ)=λ+μ 　② 第二分配律：λ(+)=λ+λ ③ 结合律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立 如果λ(0，μ(0，(有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ||| |(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ||| ∴|λ(μ)|=|(λμ)| 如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向 从而λ(μ)=(λμ) 第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ(0，μ(0，( 当λ、μ同号时，则λ和μ同向， ∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)|| |λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)|| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与同向 即 |(λ+μ)|=|λ+μ| 当λ、μ异号，当λμ时 ②两边向量的方向都与λ同向；当λμ时 ②两边向量的方向都与μ同向，且|(λ+μ)|=|λ+μ| ∴②式成立 第二分配律证明：如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立. 当(，(且λ(0，λ(1时 （1）当λ0且λ(1时在平面内任取一点O， 作 λ λ 则+ λ+λ 由作法知 ，∥有(OAB=(OA1B1 ||=λ|| ∴λ ∴△OAB∽△OA1B1 ∴λ (AOB=( A1OB1 因此，O，B，B1在同一直线上，||=|λ| 与λ方向也相同 ∴λ(+)=λ+λ 当λ0时 可类似证明：λ(+)=λ+λ ∴ ③式成立 4．向量共线的充要条件 若有向量(()、，实数λ，使=λ，则与为共线向量 若与共线(()且||：||=μ，则当与同向时=μ； 当与反向时=(μ从而得 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使=λ 三、讲解范例： 例1若3＋2＝，－3＝，其中，是已知向量，求，. 分析：此题可把已知条件看作向量、的方程，通过方程组的求解获得、. 解：记3＋2＝① －３＝② 3×②得３－９＝３③ ①－③得11＝－３. ∴＝－④ 将④代入②有：＝＋３＝＋ 例2凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证＝(+). 解法一：构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.过点C在平面内作＝，则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG中点. ∴EF是△ADG的中位线，∴EF =, ∴＝. 而＝＋＝＋， ∴＝（＋）. 解法二：创造相同起点，以建立向量间关系 如图，连EB，EC，则有＝＋， ＝＋， 又∵E是AD之中点，∴有＋＝. 即有＋＝＋； 以与为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点. ∴＝＝（＋）＝（＋） 例3 如图,已知任意两个非零向量a,b,试作 你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么? 解：∵ ∴ 所以,A、B、C三点共线. 四、课堂练习： 五、小结:通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用. 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记： 全优中高考网----------------