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CH1_ 第二章 场论 第一节 场 第二节 数量场的方向导数和梯度 第三节 矢量场的通量和散度 第四节 矢量场的环量和旋度 第五节 几种重要的矢量场 第一节 场 第二节 数量场的方向导数与梯度 第三节 矢量场的通量及散度 第四节 矢量场的环量与旋度 第五节 几种重要的矢量场 解 l 的参数方程为 t 从0便到 表示其面积， 2 环量面密度 在磁场强度场 沿场内有向闭曲线l 中， 的环量等于通过以l 边的有向曲面S的总电 流强度， 有 时需要了解场中一点M 处通过任一方向n 的电流密度 （即在点M 处，沿方向n ，通过以 垂直的单位面积 的电流强度)。 定义2 设有矢量场 M 为场内一点， 为在M 处给定的一个方向， 过点M 作以 为法向的微 小曲面 同时用 用 界( 符合右手法则), 当曲面 表示 的正向边 的正向与 在保持点M 在其上的条件下， 缩向点M 时， 矢量场 沿 曲面 的极限存在， 则称此极限为矢量场 在点M 处沿方向 的环量面密度， 记为 即 的环量与 的面积的比 例如，在磁场强度场 中， 在点M 处沿方向 的 的环量面密度 即为在点M 处的沿方向 电流密度。 在流速场 中， 在点M 处沿方向 的环量面密 度 即为在点M 处与 成右手法则方向的环流对面积的变 化率， 称为环流密度(或环流强度). 3 环量面密度在直角坐标下计算公式 设 则由斯托克斯公式知 由中值定理得 其中M* 为曲面 上一点， 当 时， 所以 例2 求矢量场 在点 沿 的方向的环量面密度。 解 的方向余弦为 因此在点 处沿矢量 方向的环量面密度 二 旋度 1 旋度的定义 记矢量 则 因此 是这样一个矢量： 设有矢量场 在点 处的所有方 向中沿 方向的环量面密度最大， 且这个最大环量面 密度为 定义3 设有矢量场 M 为场内一点， 如果 存在这样一个矢量 矢量场 在M 处沿其方向 的环量面密度最大， 其模 为最大环量面密度， 则称 为矢量场 在M 处的旋度， 记为 即 在直角坐标系下， 如果 则 在磁场强度场 中，点M 处的旋度 表示 电流密度矢量。 由旋度的定义可知： 在点M 处沿方向n 环量面密度等于旋度 在n 方向的投影。 斯托克斯公式的矢量表示式为 如果在矢量场 中的每一点都有 则称矢量 场为无旋场。 例3 求矢量场 在 解 处的旋度。 将其与散度的计算公式 和旋度的计算公式 引入矢量场 的雅可比矩阵 对照可知： 对角线元素的和为 利用其余六个 偏导数可以构造出 例4 求矢量场 的散度 旋度 解 的雅可比矩阵为 所以 例5 设缸体绕过原点的某个轴l 转动， 其角速度矢量 为 刚体上每一点 处的 线速度矢量为 由运动学知识可知 求 解 这表明：在刚体转动的线速度场中，任意一点M 处 线速度的旋度， 除了一个常数因子外， 恰恰等于刚体转 动的角速动。 2 旋度运算的基本公式 例6 证明矢量场 为无旋场。 证 线单连通域： 如果对于空间区域G 内的任何一条简 单闭曲线l ， 在G 内可以作一条以l 为边的简单曲面， 这样的区域G 称为线单连通区域， 不是线单连通区域 的区域称为线复连通区域。 面单连通域： 如果在一个空间区域 完全落在G的内部， 则称区域G是面单 连通区域， 不是面单连通区域的区域 称为面复连通区域。 G 内的任意一简单闭曲面S , 其内部仍 空心球体 环面体 又由于函数 沿梯度方向的方向导数 这说明函数 沿梯度方向 即梯度指向 是增加的， 增加一方。 如果将数量场中每一点 的梯度与场中的点一一对应起来， 这样就产生一个矢 量场， 称其为由数量场产生的梯度场。 例3 设 为可导函数， 求 解 令 例4 求数量场 在点 处的梯度 及沿矢量 的方向 的方向导数。 解 在点 处 因此 矢量 的方向余弦 所以 例5 求数量场 在过点 的等值面上 沿外法线方向 的方向导数。 解 数量场的等值面方程 或 过点 等值面方程为 由此可知 其外法向为 增大的方向， 即函数 减少的方向， 根据梯度的方向为垂直于等值面且指向函数值增大的 方向， 得 3) 梯度的运算基本公式 为常数) 为常数) 特别 例6 设有温度场 热的流动是由温度高 向温度低的流动， 根据热转导理论的傅里叶实验定律： “场中之任一点处，沿任一方向的热流强度(在单位时 间内流过与该方向垂直的单位面积的热量)与该方向上 的温度变化率成正比”， 因此热流强度为 其中比例系数 称为内导热系数， 前面的负号表示 热流的方向与温度增大的方向相反。 由于 记 这表明矢量 的方向是使热流强度取最大值的方向， 其模恰为最大热流强度， 因此称 为热流矢量。 例7 设有位于坐标原点的点电荷 在周围空间任 一点