(公用)2015高中数学 圆锥曲线与方程知识详解 选修2-1.docVIP

圆锥曲线与方程 知识点详解 一、曲线与方程 1. 求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下： 步 骤 含 义 说 明 1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。 建立适当的直角坐标系，用表示曲线上任意一点M的坐标。 所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。 没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。 2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。 写出适合条件P的点M的集合 这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。 3、“代”：代换 用坐标法表示条件P(M)，列出方程 常常用到一些公式。 4、“化”：化简 化方程为最简形式。 要注意同解变形。 5、证明 证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。 这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化” 2：性质 1.求曲线方程应注意：（1）.先要判断题干是否给出坐标系；（2）.求出的方程是否与题干的条件等 价要验证. 2.掌握几种常见的求轨迹方程的方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、待定系数法。 直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。 代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。 定义法：运用解析几何中一些常用定义，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程。 二、椭圆 1、椭圆的定义 用集合表示为{P||PF1|+|PF2|=2a，其中F1、F2是两个定点，2a为定值，2a|F1F2|} 当2a=|F1F2|时，点P的轨迹为线段F1F2 当2a|F1F2|时，点P不存在 椭圆的定义作为判定定理用，是求轨迹方程中的定义法；椭圆的定义作为性质定理用，是解决椭圆问题的重要思想方法。 课本在推导椭圆标准方程时，涉及到两个无理式的化简及字母计算，希望同学们亲手操作。字母运算是本章的特点，属于技能范畴，同学们要定下心来，在合理选择运算途径后，多算，细心算。 2、椭圆的标准方程是指在以焦点的中点为原点，焦点在坐标轴上的前提条件下推导出来的。 当焦点在x轴上时，方程类型为 当焦点在y轴上时，方程类型为=1 恒有ab0。字母x通常写在前面。 为了运算简单，有时也用整式形式，如Ax2+By2=1（A0，B0)等。 3、 求椭圆的标准方程，主要用待定系数法。 其步骤为： 选标准，即判定焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两种情况都有可能； 定参数，通过解方程组的思想求得a2，b2，或c2，a2=b2+c2。 实际上，定参数（a，b，c）是定椭圆的形状，选标准是确定椭圆在坐标系中的位置。 4、 椭圆的性质 （1）几何性质： ①位置关系：中心是两焦点、顶点的中点，两准线关于中心对称；焦点在长轴上；长轴与准线垂直；对称性（具有轴对称和中心对称） ②数量关系：主要是距离的不变性。两焦点、长轴两个顶点、短轴两个顶点之间距离始终为2c，2a，2b；两准线之间距离为；焦点到对应准线距离（焦准距等等） ③离心率：，0e1 ④基本图形：中心、短轴顶点、焦点构成直角三角形，三边关系满足a2=b2+c2 （2）解析性质 与坐标系的选取有关。如下图： 方程：（ab0） （ab0） 焦点：（±c，0） （0，±c） 顶点：（±a，0），（0，±b） （0，±a），（±b，0） 准线：x=± y=± 5、直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相交、相切，与直线和圆的位置关系类似。判断方法是判别式（△法）。 当直线与椭圆相交时，设直线l与椭圆（ab0）相交于A、B两点，AB中点为M（x0，y0），对于与中点有关的问题通常有两种途径： 列方程用韦达定理；（2）点差法，有结论：。 不管是哪一种途径，都体现了设而不求的思想。 椭圆（ab0）的参数方程为（θ为参数）； 椭圆（ab0）的参数方程为（θ为参数）。 、抛物线 1、抛物线的定义是从椭圆、双曲线的第二定义引出的，采用了分类讨论的思想。椭圆和双曲线都有两个定义，但抛物线只有一个。椭圆和双曲线的顶点、焦点、准线成对出现，而抛物线只有一个焦点、顶点、准线。 2、课本P.116给出了四种不同开口方向之下的抛物线方程，其规律有： （1）纵向比较：可记忆成“次数定轴，系数定向”。次数定轴是指一次项系数的正负决定开口方向，若系数为正，则抛物线开口为坐标轴正方向；若系数为负，则抛物线开口为坐标轴负方向。 （2）横向比较；