2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.5 垂直关系课件 理 北师大版.pptVIP

(2)求证：平面EFG⊥平面EMN. 证明 因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA. 又因为AB⊥PA， 所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG. 又因为EF∩FG＝F，EF平面EFG，FG平面EFG. 所以AB⊥平面EFG. 又因为M，N分别为PD，PC的中点， 所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB， 所以MN⊥平面EFG. 又因为MN平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN. 引申探究 1.在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC. 证明 因为AB⊥PA，AB⊥AC， 且PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC. 又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB， 所以MN⊥平面PAC. 又MN平面EMN， 所以平面EMN⊥平面PAC. 2.在本例条件下，证明：平面EFG∥平面PAC. 证明 因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点， 所以EF∥PA，FG∥AC， 又EF 平面PAC，PA平面PAC， 所以EF∥平面PAC. 同理，FG∥平面PAC. 又EF∩FG＝F， 所以平面EFG∥平面PAC. 思维升华 (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，aα?α⊥β). (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 跟踪训练2　 (2016·江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1. 求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；l 由已知，DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1， ∴DE∥A1C1， 又∵DE 平面A1C1F，A1C1平面A1C1F， ∴DE∥平面A1C1F. 证明 (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 证明 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1， ∴AA1⊥A1C1， 又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1， ∴A1C1⊥平面ABB1A1， ∵B1D平面ABB1A1， ∴A1C1⊥B1D， 又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1， ∴B1D⊥平面A1C1F， 又∵B1D平面B1DE， ∴平面B1DE⊥平面A1C1F. 题型三　垂直关系中的探索性问题 例3　如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC. (1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a； 在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC平面ACE，DF 平面ACE，∴DF∥平面ACE. 又∵DF平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a， ∴DF∥a. 证明 (2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由. 解答 线段BE上存在点G，且BG＝ BE，使得平面DFG⊥平面CDE. 证明如下： 取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G， 连接GD，GF， ∵CF＝EF， ∴GF⊥CE. 在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC?DE⊥EF. 由CF⊥平面DEF?CF⊥DE. 又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF. 又GF平面DFG， ∴平面DFG⊥平面CDE. 此时，如平面图所示，延长CB，FG交于点H， ∵O为CE的中点，EF＝CF＝2BC， 由平面几何知识易证△HOC≌△FOE， 思维升华 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明. 跟踪训练3　(2016·北京东城区模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点.AB＝BC，AC＝2，AA1＝ . (1)求证：B1C∥平面A1BM； 证明 连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM， 在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1中点， ∴OM∥B1C， 又∵OM平面A1BM，B1C 平面A1BM， ∴B1C∥平面A1BM. (2)求证：AC1⊥平面A1BM； 证明 ∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM平面ABC， ∴AA1⊥BM， 又∵M为棱AC中点，AB＝BC，∴BM⊥AC. ∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面ACC1A1， ∴BM⊥AC1. ∵AC＝2，∴AM＝1. ∴∠AC1C＝∠A1MA， 即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°， ∴A1M⊥AC1. ∵BM∩A1M＝M，∴AC1⊥平面A1BM. 解答 平面AC1N⊥平面AA1C1C. 证明如下： 设AC1中点为D，连接DM，DN. ∵D，M分别为AC1，AC中点， 又∵N为B