2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直课件 理 北师大版.pptVIP

(2)求证：平面PAB⊥平面PDC. 证明 又PA⊥PD，PD∩CD＝D，所以PA⊥平面PDC. 又PA平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC. 思维升华 证明垂直问题的方法 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键. (2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可. 跟踪训练2 　(2016·青岛模拟)如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝ AB，B1C1綊 BC，二面角A1－AB－C是直二面角.求证： (1)A1B1⊥平面AA1C； 证明 ∵二面角A1－AB－C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形， ∴AA1⊥平面BAC. 又∵AB＝AC，BC＝ AB， ∴∠CAB＝90°，即CA⊥AB， ∴AB，AC，AA1两两互相垂直. 建立如图所示的空间直角坐标系，点A为坐标原点， 设AB＝2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2). 设平面AA1C的一个法向量n＝(x，y，z)， ∴A1B1⊥平面AA1C. (2)AB1∥平面A1C1C. 证明 设平面A1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)， 令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1). ∴ ·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0， 又AB1 平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C. 题型三　利用空间向量解决探索性问题 例4　(2016·北京)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝ . (1)求证：PD⊥平面PAB； ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB平面ABCD， ∴AB⊥平面PAD.∵PD平面PAD，∴AB⊥PD. 又PA⊥PD，PA∩AB＝A，且PA，PB平面PAB， ∴PD⊥平面PAB. 证明 (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； 解答 取AD中点O，连接CO，PO， ∵PA＝PD， ∴PO⊥AD. 又∵PO平面PAD， 平面PAD⊥平面ABCD， ∴PO⊥平面ABCD， ∵CO平面ABCD， ∴PO⊥CO， ∵AC＝CD，∴CO⊥AD. 以O为原点建立如图所示空间直角坐标系. 易知P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0，－1,0)，C(2,0,0). 设n＝(x0，y0 ,1)为平面PCD的一个法向量. 设PB与平面PCD的夹角为θ. (3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求 的值；若不存在，说明理由. 解答 ∵BM 面PCD，∴BM∥平面PCD， 思维升华 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”. 跟踪训练3 　(2016·深圳模拟)如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点. (1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值； 解答 如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 依题意得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E( ，1,0)， (2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由. 解答 假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN. 连接AE，如图所示. 由ES⊥平面AMN， 典例　(12分)(2016·吉林实验中学月考)如图1所示，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B，如图2所示. (1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系， 并说明理由； (2)求二面角E－DF－C的余弦值； (3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论. 利用向量法解决立体几何问题 思想与方法系列19 规范解答 思想方法指导 几何画板展示 对于较复杂的立体几何问题可采用向量法 (1)用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具