2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离课件 理 北师大版.pptVIP

整理化简，得3λ2－10λ＋3＝0. 典例　(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点. (1)证明：BE⊥DC； (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； (3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求 二面角F－AB－P的余弦值. 利用空间向量求解空间角 答题模板系列6 规范解答 答题模板 (1)证明　依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2). [1分] 由E为棱PC的中点，得E(1,1,1). 设n＝(x，y，z)为平面PBD的一个法向量， 可得n＝(2,1,1). 因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝ ， 设n1＝(x，y，z)为平面FAB的一个法向量， 不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1). 取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)， 易知，二面角F－AB－P是锐角， 返回 利用向量求空间角的步骤： 第一步：建立空间直角坐标系； 第二步：确定点的坐标； 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标； 第四步：计算向量的夹角(或函数值)； 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角； 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 返回 课时作业 1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于 A.120° B.60° C.30° D.60°或30° √ 答案 解析 设直线l与平面α所成的角为β，直线l与平面α的法向量的夹角为γ. 则sin β＝|cos γ|＝|cos 120°|＝ . 又∵β∈[0°，90°]，∴β＝30°，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(2016·广州模拟)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2 ，则该二面角的大小为 A.150° B.45° C.60° D.120° √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1， 设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(2016·长春模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由AB＝AC＝1，PA＝2， 设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 取z＝1，则n＝(2,0,1)， 设直线PA与平面DEF所成的角为θ， ∴直线PA与平面DEF所成角的正弦值为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2 ，E为CC1的中点，则直线AC1到平面BDE的距离为 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 取BC的中点E，连接AE. 由AB＝AC得AE⊥BC， 以A为坐标原点， 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)， 设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则 思维升华 利用向量法求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 跟踪训练2 　在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示. (1)求证：AB⊥CD； 证明 ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB