第二章条件概率与统计独立性讲述.ppt

因此对于正整数 m 及 n，成立 这样我们已经证得结论对一切有理数成立，再利用连续性或单调性可以证明结论对无理数也成立，从而证明了引理。 （在　中取　　　　 ） 泊松过程 考虑来到某交换装置的电话呼叫数，假定它具有下面三个性质： （i）平稳性 在 中来到的呼叫数只与时间间隔长度 t 有关而与时间的起点 无关。 （ii）独立增量性（无后效性） 在 中来到k次呼叫这一事件与时刻 以前发生的事件独立。 （iii）普通性 即在充分小的时间间隔内，最多来到一个呼叫。 具体地讲： 若以 记在长度为 的时间区间中来到 个呼叫的概率，则显然有 若记 应有 即 平稳性表示了它的概率规律不随时间的推移而改变。 独立增量性表明互不相交的时间区间内过程进行的相互独立性。 普通性表明，在同一时间瞬间来到两个或两个以上呼叫实际上是不可能的。 下面我们来求 对 ，考虑 中来到 个呼叫的概率 ，由独立增量性及全概率公式 （ ，对 ，假定 ） 特别地 表示在长度为 的时间间隔中没有来呼叫的概率，因此它关于 单调下降，由前面的引理知： （6） 其中 ，若 ，则 ，这说明在不管怎么短的时间内都要来呼叫，因此在有限时间间隔中要来 无穷多个呼叫，这种情形不在我们的考虑之列。此外 因 为概率，故应有 ，而当 时 ，这表明永不来呼叫，也不是我们感兴趣的情形，所以应有 从而存在 ，使 （令　　　） 因此，当 时，我们有 故由（6）式得： 因此 令 ，得 由于已知 ，故有 可解得 这样下去, 可解得一切 这正是参数为 的泊松分布. 证毕 Example in Practice 花旗银行(Citibank)信用卡中心(CBC)的自动提款机(ATM)的宗旨是让办理银行业务成为一种艺术的享受. Citibank希望通过分析CBC客户等待时间，决定是否需要增加新的ATM机. 假定在某CBC，一分钟内平均有2人到达，那么以下便是在一分钟内到达到顾客数的概率分布： Example in Practice (Time ,2001,9)去年，含早餐服务的旅馆接待了超过5000万客人. 北美洲含早餐服务的旅馆的网址是www.bestI，平均每分钟大约有7人登录. 1.求1分钟时段内无人登录该网站的概率； 2.求1分钟时段内至少有2人登录该网站的概率； 3.求30秒时段内至少有一人登录该网站的概率. 泊松资料 Born: 21 June 1781 in Pithiviers, FranceDied: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France Siméon Poisson 西莫恩·德尼·泊松，法国数学家、几何学家和物理学家。 泊松最初奉父命学医，但他对医学并无兴趣，不久便转向数学. 他一生发表研究论文300多篇，出版了多部重要、影响力较大的专著，如《力学教程》、《热学的数学理论》、《分析教程》、《关于刑事案件和民事案件审判概率的研究》和《毛细管作用新论》等等。 * * * * * * * 四、 推广的伯努利试验与多项分布 二项分布可以容易地推广到 n 次重复独立试验且每次试验可能有若干个结果的情形。 把每次试验的可能结果记为 ，而 且 当 时，我们得到伯努利试验。 不难导出：在 n 次试验中 出现 次， 出现 次， 出现 次的概率为 这里 ，且 。 （5） 公式（5）称为多项分布，它是二项分布的推广，二项分布中的很多结果都能平行地推广到多项分布的场合。 例6 平面上的随机游动 一质点从平面上某点出发，等可能的向上、下、左及右方向移动，每次移动的距离为1，求经过2n次移动后回到出发点的概率。 【解】 这可以归结为上述推广的伯努利试验的问题。 分别以事件