2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量应用举例试题 理 北师大版.docVIP

第五章 平面向量 5.4 平面向量应用举例试题 理 北师大版 1．向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥ba＝λbx1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤： 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)． 3．向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 【知识拓展】 1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0. 2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若∥，则A，B，C三点共线．(　√　) (2)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(　×　) (3)在△ABC中，若·0，则△ABC为钝角三角形．(　×　) (4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(　√　) 1．(教材改编)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 答案　B 解析　＝(2，－2)，＝(－4，－8)，＝(－6，－6)， ∴||＝＝2，||＝＝4， ||＝＝6， ∴||2＋||2＝||2， ∴△ABC为直角三角形． 2．已知在△ABC中，||＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则||等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案　D 解析　在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝BC2，又·＝||·||·cos A＝－16，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D为边BC的中点，所以＋＝2，两边平方得4||2＝68－32＝36，解得||＝3，故选D. 3．(2016·武汉模拟)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是____________． 答案　x＋2y－4＝0 解析　由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4， 即x＋2y＝4. 4．(2016·银川模拟)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值为________． 答案　4 解析　设a与b夹角为α， ∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2 ＝8－4|a||b|cos α＝8－8cos α， ∵α∈[0，π]，∴cos α∈[－1,1]， ∴8－8cos α∈[0,16]，即|2a－b|2∈[0,16]， ∴|2a－b|∈[0,4]． ∴|2a－b|的最大值为4. 5．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________ J. 答案　300 解析　W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J)． 题型一　向量在平面几何中的应用 例1　(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝________. (2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 答案　(1)　(2)C 解析　(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，∴＝＝－， 又∵＝＋， ∴·＝(＋)·(－) ＝2－·＋·－2 ＝||2＋||||cos 60°－||2 ＝1＋×||－||2＝1. ∴||＝0，又||≠0，∴||＝. (2)由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据