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第五章_矩阵的特征值、特征向量和矩阵的相似讲述
特征值和特征向量 一、正交矩阵 解 例3 对下列实对称矩阵,分别求出正交矩阵 , 使 为对角阵. 第一步 求 的特征值 第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似 §5.3 实对称矩阵的对角化 解之得基础解系 解之得基础解系 第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似 §5.3 实对称矩阵的对角化 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化 第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似 §5.3 实对称矩阵的对角化 第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似 §5.3 实对称矩阵的对角化 1.将一组极大无关组规范正交化的方法: 先用施密特正交化方法将极大无关组正交化, 然后再将其单位化. 2. 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立: 第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似 §5.3 实对称矩阵的对角化 本节小结 3. 对称矩阵的性质: (1)特征值为实数; (2)属于不同特征值的特征向量正交; (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等; (4)必存在正交矩阵,将其化为对角矩阵, 且对角矩阵对角元素即为特征值. 4. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤: (1)求特征值;(2)找特征向量;(3)将特征向 量正交化;(4)最后单位化. 第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似 §5.3 实对称矩阵的对角化 第五章 特征值与特征向量 §5.2 矩阵的相似和对角化 解: |?I?A| = (?+1)(??2)2. 所以A的特征值为?1= ?1, ?2= ?3= 2. (?I?A)x = 0的基础解系: p1=(1,0,1)T. 对应于?1= ?1的特征向量为kp1 (0?k?R). (2I?A)x = 0的基础解系: p2=(0, 1, ?1)T, p3=(1, 0, 4)T. 对应于?2=?3 =2的特征向量为k2p2 +k3p3 (k2, k3不同时为零). 例4. 求A = 的特征值和特征向量. 二重 一重 一个 二个 * 定理5.2.4 第五章 特征值与特征向量 §5.2 矩阵的相似和对角化 从上述例子可以看出,当矩阵A的某个特征值?0为k重根时,对应的线性无关的特征向量的个数可能等于k,也可能小于k,这个规律对于一般的矩阵也是成立的。 设?0为n阶矩阵A的k重特征值,则属于?0的A的线性无关的特征向量最多只有k个. * 第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似 §5.2 矩阵的相似和对角化 * A相似于对角矩阵? 每个ki重特征值?i 对应 ki个线性无关的特征向量. 定理5.2.5 证明:设A可以对角化,即存在可逆矩阵P,使得P-1AP为对角阵Λ,且Λ的对角线上n个元素为A的全部的特征值。若设?i有ki 个(i=1,2,…,m) ,则k1+k2+…+km=n. 因为可逆矩阵P的列向量是A的相应特征值的特征向量,所以对应于?i的线性无关的特征向量有ki个(i=1,2,…,m). 反之,若对应于A的每个ki重特征值,A有ki个线性无关的特征向量,则A的k1+k2+…+km=n个特征向量线性无关,故A可对角化。 第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似 §5.2 矩阵的相似和对角化 * 由定理5.2.5可以得到下面的推论 推论5.2.2 n阶矩阵A可以对角化? 对于A的每个ki重特征值?i 对,特征矩阵(?i I-A)的秩为n-ki . 第五章 特征值与特征向量 例如, 若A5?5的特征值为 对应的线性无关的特征向量分别为: ? (与?1对应), ? (与2对应), ?1, ?2, ?3 (与1对应), ?1(一重), 2(一重), 1, 1, 1(三重), 令P = (?, ?, ?1, ?2, ?3), 则 P ?1AP = ?1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 * §5.2 矩阵的相似和对角化 第五章 特征值与特征向量 反之, 若 则P ?1(?1I?A)P = P ?1AP = ?1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 (?1I? P ?1AP) 0 ?3 ?2 ?2
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