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第五章数列(5课时)讲述
[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类函数. 数列的概念在高考试题中常与其他知识综合进行考查,主要有:(1)以考查通项公式为主,同时考查Sn与an的关系,如2012年上海T14,广东T19等.
(2)以递推关系为载体,考查数列的各项的求法,如2012年新课标全国T12等.
[归纳·知识整合]
1.数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项).
2.数列的分类
分类原则 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an+1>an 其中nN* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第2项起有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项.
3.数列的表示法
数列的表示方法有列表法、图象法、公式法.
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
[探究] 1.数列的通项公式唯一吗?是否每个数列都有通项公式?
提示:不唯一,如数列-1,1,-1,1,…的通项公式可以为an=(-1)n或an=有的数列没有通项公式.
5.数列的递推公式
若一个数列{an}的首项a1确定,其余各项用an与an-1的关系式表示(如an=2an-1+1,n>1),则这个关系式就称为数列的递推公式.
[探究] 2.通项公式和递推公式有何异同点?
提示:
不同点 相同点 通项公式法 可根据某项的序号,直接用代入法求出该项 都可确定一个数列,都可求出数列的任何一项 递推公式法 可根据第1项或前几项的值,通过一次或多次赋值,逐项求出数列的项,直至求出所需的项
[自测·牛刀小试]
1.(教材习题改编)已知数列{an}的前4项分别为2,0,2,0,…,则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是( )
A.an=1+(-1)n+1 B.an=2sin
C.an=1-cos nπ D.a=
解析:选B 若an=2sin,则a1=2sin=2,a2=2sin π=0,a3=2sin=-2,a4=2sin 2π=0.
2.已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3( )
A.不是数列{an}中的项
B.只是数列{an}中的第2项
C.只是数列{an}中的第6项
D.是数列{an}中的第2项或第6项
解析:选D 令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列{an}中的第2项或第6项.
3.(教材习题改编)在数列{an}中,a1=1,an=1+(n≥2),则a5=( )
A. B. C. D.
解析:选D 由题意知,a1=1,a2=2,a3=,a4=,a5=.
4.(教材改编题)已知数列,,2,…,根据数列的规律,2应该是该数列的第________项.
解析:由于2=3×1-1,5=3×2-1,8=3×3-1,…
故可知该数列的通项公式为an=
由2=,得n=7.
答案:7
5.若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n=1,2,3,…),则此数列的通项公式为an=________;数列{nan}中数值最小的项是第________项.
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(n2-10n)-[(n-1)2-10(n-1)]=2n-11;
当n=1时,a1=S1=-9也满足an=2n-11,
an=2n-11.
nan=2n2-11n=2=2
=22-.
又n∈N*,当n=3时,nan取最小值.
答案:2n-11 3
已知数列的前几项求通项公式
[例1] 根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式:
(1)4,6,8,10,…;
(2),,,,,…;
(3),,-,,-,,….
[自主解答] (1)各数都是偶数,且最小为4,所以通项an=2(n+1)(nN*).
(2)注意到分母分别是21,22,23,24,25,…,而分子比分母少1,
所以其通项an=(nN*).
(3)分母规律明显,而第2,3,4项的绝对值的分子比分母少3,因此可考虑把第1项变为-,这样原数列可化为-,,-,,-,,…
所以其通项an=(-1)n(nN*).
———————————————————
用观察法求数列的通项公式的技巧
用观察归纳法求数列的通项公式,关键是找出各项的共同规律及项与项数n的关系.当项与项之间的关系不明显时,可采用适当变形或分解,以凸显规律,便于归纳.当各项是分数时,可分别考虑分子、分母的
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