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第六章??????? 参数估计 一、主要内容 1．理解参数点估计的概念，掌握求参数点估计的两种方法：矩估计和最大似然估计方法； 2．了解估计量的优良性准则（无偏性、有效性、最小方差无偏估计，相合估计），并掌握验证估计量的无偏性方法； 二、典型例题 1．设总体的分布函数为 是来自该总体的样本值。求未知参数的最大似然估计和矩估计。 （1）样本值 的似然函数为 又 得似然函数 解得 是唯一驻点。又因为 ， 所以 是 最大似然估计。 （2）第一步 第二步 第三步 将 代入 的公式，得到。 得到 是 的矩估计。 2．已知总体 的分布列为 （参数未知）。是来 自该总体的 样本值。求 的最大似然估计。 [解] （ ）的似然函数为 又 得似燃方程 解得 是唯一驻点 所以 是 的最大似然估计 3．设总体 ，其中 为已知常数， 为未知常数， 是来自该总体的 样本。 和 都是 的估计量，比较它们的有效性。 [分析] 容易验证 和 都是 的无偏估计量。比较它们的有效性就是比较它们的方差大小。 [解] 已知， 故 和 都是 的无偏估计量。 又 由分布定义知 由定理知 所以 故有， 于是 比 有效。 4．假定到某地旅游的一个游客的消费额服 从正态分布 ，且 未知。要对平均消费额 的进行估计，使这个估计的绝对误差小于50元，且为使置信度不小于0.95，问至少需要随机调查多少个游客？ [分析] 本题是求样本容量的最小值，因此，不妨 设 是取自该总体的样本。 样本均值为 ，且已知 ，依题意，即可 由 去求最小样本容量。 ?[解] 设 至少需要随机调查的游客人数 要 即 因为 由 ，其中 得 这就是随机调查游客人数不少于385人，就有不小于0.95的把握，使得用调查所得 的去估计平均消费额的真相 ，其绝对误差小于50 元。 5．某商店为了解用户对某种商品的需求量，调查了100个用户，得出每户每月平均需要该商品10公斤。根据经验得知用户需求量方 差 公斤。如果这个商店供应一万户， 就用户对这种商品的平均需求量 进行区间估计 。并依此求至少需准备多少公斤此种商品才能以0.99的概率满足用户需要？ [分析] 本题不是正态分布。由于样本容量较大，可用大样本方法求未知参数的区间估计，即由独立同分布的中心极限定律得知，总体近似服从 且由条件可知 [解] 设对该商品的需求量为 ，由于 较大，仅 似近服从正态分布 。 随机变量 可作为枢轴变量，于是， 有 可得 的置信度 为置信区间为 已知 故 的置信区间是：为 由题意可知一万户对该商品的平均需求量的0.99的置信区间是 又由题意要满足 可得 的0.99的置信区间为 可知对一万户最少需要准备93010公斤这种商品，才能以0.99的概率满足需要。 三、练习与答案 1．设总体 在