新概念几何与共边定的问与答.doc

新概念几何与共边定理的问与答 广州 杜厚生 (与现行教材上面积相等的表达式不同，本文用(APB＝(AQB表示两个三角形面积相等，三角形符号前省略“S”或“面积”这是为了表达上的简洁) 问：那些人适合阅读和应用本文？ 答：主要是初中数学教师和初三备考的学生，初二学生也可以尝试应用．当然，高中数学教师也应当有所了解，高中生也可以读一读，但最适合的读者，是准备参加初中数学竞赛的同学． 问：张景中是谁？ 答：张景中者，自欧几里德已降，2300多年来独力改写欧几里德几何体系的第一人．新体系者，新概念几何也． 张景中，1936年生于河南汝阳，18岁入北大数学系，22岁打成右派，从此沦为另类21年，至1979年43岁时才平反，恢复普通公民身份．此后便文思泉涌，17年间，成就辉煌，跻身顶级数学家之列，数项成果均堪称里程碑，成为大学教授、博士生导师、中科院院士，杰出科普作家． 问：什么是“新概念几何”？ 答：平面几何问题一直是数学教育与学习中的疑难问题，两千年来，学生的课本还是和欧几里德时代无甚大异，教师只有在增加学习时间，减少所学内容上做文章．然而张景中院士大胆指出，我们其实不必非要虔诚地跟在欧几里得身后学习平面几何！他经过多年潜心研究，独辟蹊径，建立起一套以度量为基础，以面积为中心的平面几何新方法、新体系，这就是“新概念几何”（下文简称新几何）．从1989年以来，经过20年来张院士和很多中学老师的教学实践证明，“面积法”可节省课时，提高学生解决问题的能力，特别是在解决数学奥林匹克竞赛问题时的优势相当明显． “新概念几何”相对于欧几里德的几何是一个全新的平面几何新体系，从公理体系到定理体系、解题方法，都有极大的区别，也是欧几里德的几何诞生2300多年来，第一个全新的体系．在张景中的新几何中，甚至没有平行公理，即平行线的存在性和唯一性是可以由面积方法推导出来的一个定理．也不需要全等三角形和相似三角形等一批定理．由于新几何定理大大减少、解题方法统一为面积方法，给平面几何减少课时和降低难度创造了条件．新几何中使用的解题通法——消点法，甚至成为了攻克世界性的科研难题——机器证明几何定理的关键方法，取得了机器证明几何定理的里程碑式的胜利． 新几何正是由于方法之新、对传统几何改造之彻底，反而造成了推广之难．对广大中学教师来说，几乎是一门新学科，老师和学生在知识上同样的一无所知！但老师应当先学一步，比学生更早掌握新几何，为教材、课程改革作出应有的贡献．一旦国家决定采用新几何代替旧教材，老师就可以充满信心地走上讲台． 退一步来看，掌握新几何的面积方法和部分新定理却并不难，但对于现行教材是一个补充和改进，对个人教学能力的提高也极有补益． 问：新几何的核心是什么？ 答：新几何以度量为基础，以面积为中心，它的核心定理就是现行教材中一条极为平凡的定理：“等高三角形面积的比等于底边的比”． 由这个核心定理推导出一条现行教材中没有的定理——共边比例定理，这是整套新几何教材的基础，由该定理导出全部定理与解题方法，构成了几何新体系． 从一条极为平凡的定理着手，改写几何原本的整个体系，构造出一个几何新体系，这件事本身就透出神奇．历史上堪与之相比的，只有180年前对平行公设的研究了．当年也是从一条公设出发，构造出一个非欧几何．但毕竟同时有高斯、小鲍耶、罗巴切夫斯基13卷，包含了465条命题．有趣的是，有一条非常基本的重要命题，它没有受到欧几里得时代数学家的注意和重视(之后的两千多年中也没有得到应有的重视)．如果当初欧几里得或别的数学家重视了，几何学的历史有可能被改写，几何难学、几何解题无定法的局面就早已改观了．这是《几何原本》第6卷的命题一：“等高三角形或平行四边形，它们彼此相比如同它们的底的比” 共边定理和基本命题的共同点，都是把两个三角形的面积比化成共线线段之比．共边定理中若A在直线PQ上，就回到了基本命题．所以，它是基本命题的推广．基本命题图中的线段PQ，AB 的位置变得更一般些，使A不在直线PQ上，再添上交点M,就成了共边定理的图形了．这一点改变很重要．欧几里得时代的几何学家，就是没有注意到这一点改变，才失去了这条无比重要的共边定理，也错过了发现平面几何机械化解题方法的机会． 为什么强调面积？ 张景中这样看面积方法的重要性： 利用面积，我们可以建立面积坐标，自然地进入解析几何．而面积坐标，本质上已经包含了笛卡尔坐标、仿射坐标、射影坐标，这就为学习更高深的几何埋下了伏笔． 学会了计算多边形和圆的面积，自然会想到去计算曲线包围的面积，这就会引出极限概念，引出定积分概念，自然而然地就把学生带进了高等数学的大门．此外，微积分里用得最多的三角函数与对数函数(指数函数)，都可以用面积给出易于理解又便于推导的定义． 在高等数学中，面积以各种形式出现．面积是积分，是测度，是