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无穷积分收敛判别Mcrosoft Word 文档
无穷积分的收敛判别
摘要:简单讨论无穷积分的收敛判别方法,以及各种判别法的适用范围和应用技巧,并以简单实例加以探究.
关键字:无穷积分,收敛判别法,收敛和发散
一.绝对收敛必自身收敛
1.若f在任何有限区间[a,u]上可积,且有收敛,则必收敛,并有
|| (适用于函数值符号会变化的无穷积分,如含等)
运用定义来判别(适用于原函数容易求出的无穷积分)
若f定义在[a,+]上,且在任何有限区间[a,u]可积,若存在极限,则收敛。
例1 讨论的收敛性
解:(i)当p=1时,,
,
发散
(ii)当p时,
综上:当p1时,收敛;
当p≤1时,发散。
二.非负函数无穷积分的判别(在含非负函数的无穷积分时适用)
若f是定义在[a,+]上的非负函数,且在任何有限区间[a,u]上可积,则收敛的充要条件是在[a,+]存在上界。
比较原则:
设定义在[a,+]上的两个非负函数f和g都在任何有限区间[a,u]上可积,且满足f(x)g(x),x[a,+],
则当收敛时必收敛(大收敛则小收敛,小发散则大发散)
例2 判断的收敛性
解:||
又=(-0)= 收敛
绝对收敛(由比较原则知),自身亦必收敛
2.比较原则的极限形式:(常会用到作为比较对象)若f和g都在任何有限区间[a,u]上可积,当x[a,+]时,f(x)≥0,g(x)0,且,则有:
(i)当0c+时,与同敛态;
(ii)当c=0 时,若收敛则也收敛;
(iii)当c=+时,若发散则也发散。
柯西判别法:(多用于含指数,对数,根号的无穷积分判别时)
设f是定义在[a,+](a0),且在任何有限区间[a,u]上可积,则有:
(i)当0≤f(x)≤,x[a,+],且p1时,收敛;
(ii)当f(x), x[a,+],且p≤1时,发散。
设f是定义在[a,+]上的非负函数,在任何有限区间[a,u]上可积,且
则有 (i)当p1,0≤+时,收敛;
(ii)当p≤1,0≤+时,发散。
例3 讨论下列无穷积分的收敛性
; (2).
解:(1)令f(x)=
则=;
无论为何值,必收敛(由柯西判别法2知)
令f(x)=
则;
发散(由柯西判别法2知)
一般无穷积分的收敛判别(适用于由几个简单有特点函数组成的无穷积分)
狄利克雷判别法:
若F(u)=在[a,+]上有界,g(x)在[a.+]上当x时单调趋于0,则收敛。
例4 讨论的收敛性(p0)
解:令F(u)==2 u[a,+]有界
又p0时,(x),
由狄利克雷判别法知(p0)收敛
阿贝尔判别法:
若收敛,g(x)在[a.+]上单调有界,则收敛。
还有些无穷积分用以上办法判断不出,如但可以用柯西准则判断。
柯西准则:(适用于某些简单但不易判别的无穷积分)
无穷积分收敛的充要条件是:任给0,存在G≥a,只要便有||=||.
例5判断的收敛性
解:,对
取;
有||=||=||=
是发散的。参考文献:华东师范大学数学系《数学分析》
论文作者:陈科文
理学院 信计1201学号33
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