无穷积分收敛判别Mcrosoft Word 文档.doc

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无穷积分收敛判别Mcrosoft Word 文档

无穷积分的收敛判别 摘要:简单讨论无穷积分的收敛判别方法,以及各种判别法的适用范围和应用技巧,并以简单实例加以探究. 关键字:无穷积分,收敛判别法,收敛和发散 一.绝对收敛必自身收敛 1.若f在任何有限区间[a,u]上可积,且有收敛,则必收敛,并有 || (适用于函数值符号会变化的无穷积分,如含等) 运用定义来判别(适用于原函数容易求出的无穷积分) 若f定义在[a,+]上,且在任何有限区间[a,u]可积,若存在极限,则收敛。 例1 讨论的收敛性 解:(i)当p=1时,, , 发散 (ii)当p时, 综上:当p1时,收敛; 当p≤1时,发散。 二.非负函数无穷积分的判别(在含非负函数的无穷积分时适用) 若f是定义在[a,+]上的非负函数,且在任何有限区间[a,u]上可积,则收敛的充要条件是在[a,+]存在上界。 比较原则: 设定义在[a,+]上的两个非负函数f和g都在任何有限区间[a,u]上可积,且满足f(x)g(x),x[a,+], 则当收敛时必收敛(大收敛则小收敛,小发散则大发散) 例2 判断的收敛性 解:|| 又=(-0)= 收敛 绝对收敛(由比较原则知),自身亦必收敛 2.比较原则的极限形式:(常会用到作为比较对象) 若f和g都在任何有限区间[a,u]上可积,当x[a,+]时,f(x)≥0,g(x)0,且,则有: (i)当0c+时,与同敛态; (ii)当c=0 时,若收敛则也收敛; (iii)当c=+时,若发散则也发散。 柯西判别法:(多用于含指数,对数,根号的无穷积分判别时) 设f是定义在[a,+](a0),且在任何有限区间[a,u]上可积,则有: (i)当0≤f(x)≤,x[a,+],且p1时,收敛; (ii)当f(x), x[a,+],且p≤1时,发散。 设f是定义在[a,+]上的非负函数,在任何有限区间[a,u]上可积,且 则有 (i)当p1,0≤+时,收敛; (ii)当p≤1,0≤+时,发散。 例3 讨论下列无穷积分的收敛性 ; (2). 解:(1)令f(x)= 则=; 无论为何值,必收敛(由柯西判别法2知) 令f(x)= 则; 发散(由柯西判别法2知) 一般无穷积分的收敛判别(适用于由几个简单有特点函数组成的无穷积分) 狄利克雷判别法: 若F(u)=在[a,+]上有界,g(x)在[a.+]上当x时单调趋于0,则收敛。 例4 讨论的收敛性(p0) 解:令F(u)==2 u[a,+]有界 又p0时,(x), 由狄利克雷判别法知(p0)收敛 阿贝尔判别法: 若收敛,g(x)在[a.+]上单调有界,则收敛。 还有些无穷积分用以上办法判断不出,如但可以用柯西准则判断。 柯西准则:(适用于某些简单但不易判别的无穷积分) 无穷积分收敛的充要条件是:任给0,存在G≥a,只要便有||=||. 例5判断的收敛性 解:,对 取; 有||=||=||= 是发散的。 参考文献:华东师范大学数学系《数学分析》 论文作者:陈科文 理学院 信计1201学号33

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