无穷积分收敛判别Mcrosoft Word 文档.docVIP

无穷积分的收敛判别 摘要：简单讨论无穷积分的收敛判别方法，以及各种判别法的适用范围和应用技巧，并以简单实例加以探究. 关键字：无穷积分,收敛判别法，收敛和发散 一．绝对收敛必自身收敛 1.若f在任何有限区间[a,u]上可积，且有收敛，则必收敛，并有 || （适用于函数值符号会变化的无穷积分，如含等） 运用定义来判别（适用于原函数容易求出的无穷积分） 若f定义在[a,+]上,且在任何有限区间[a,u]可积，若存在极限，则收敛。 例1 讨论的收敛性 解：（i）当p=1时，， ， 发散 （ii）当p时， 综上：当p1时，收敛； 当p≤1时，发散。 二．非负函数无穷积分的判别（在含非负函数的无穷积分时适用） 若f是定义在[a,+]上的非负函数，且在任何有限区间[a,u]上可积，则收敛的充要条件是在[a,+]存在上界。 比较原则： 设定义在[a,+]上的两个非负函数f和g都在任何有限区间[a,u]上可积，且满足f（x）g（x），x[a,+], 则当收敛时必收敛（大收敛则小收敛，小发散则大发散） 例2 判断的收敛性 解：|| 又=（-0）= 收敛 绝对收敛（由比较原则知），自身亦必收敛 2.比较原则的极限形式：（常会用到作为比较对象）若f和g都在任何有限区间[a,u]上可积，当x[a,+]时，f（x）≥0，g（x）0,且,则有: (i)当0c+时,与同敛态; (ii)当c=0 时,若收敛则也收敛; (iii)当c=+时，若发散则也发散。 柯西判别法:（多用于含指数，对数，根号的无穷积分判别时） 设f是定义在[a,+](a0),且在任何有限区间[a,u]上可积，则有： （i)当0≤f（x）≤，x[a,+]，且p1时，收敛； （ii）当f(x), x[a,+],且p≤1时，发散。 设f是定义在[a,+]上的非负函数，在任何有限区间[a,u]上可积，且 则有 （i）当p1,0≤+时，收敛； （ii）当p≤1，0≤+时,发散。 例3 讨论下列无穷积分的收敛性 ; (2). 解:(1)令f（x）= 则=； 无论为何值，必收敛（由柯西判别法2知） 令f(x)= 则； 发散（由柯西判别法2知） 一般无穷积分的收敛判别（适用于由几个简单有特点函数组成的无穷积分） 狄利克雷判别法： 若F(u)=在[a,+]上有界，g（x）在[a.+]上当x时单调趋于0，则收敛。 例4 讨论的收敛性（p0） 解：令F(u)==2 u[a,+]有界 又p0时，（x）， 由狄利克雷判别法知（p0）收敛 阿贝尔判别法： 若收敛，g（x）在[a.+]上单调有界，则收敛。 还有些无穷积分用以上办法判断不出，如但可以用柯西准则判断。 柯西准则：（适用于某些简单但不易判别的无穷积分） 无穷积分收敛的充要条件是：任给0,存在G≥a，只要便有||=||. 例5判断的收敛性 解：，对 取; 有||=||=||= 是发散的。参考文献:华东师范大学数学系《数学分析》 论文作者：陈科文 理学院 信计1201学号33