养老保险问题——非线性方程求根的数值解法.docVIP

第四章 养老保险问题 ——非线性方程求根的数值解法 4.1 养老保险问题 4.1.1 问题的引入 养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案以供选择，分析保险品种的实际投资价值。也就是说，如果已知所交保费和保险收入，则按年或按月计算实际的利率是多少？或者说，保险公司需要用你的保费至少获得多少利润才能保证兑现你的保险收益？ 4.1.2 模型分析 假设每月交费200元至60岁开始领取养老金。某男子25岁起投保，届时养老金每月2282元；如果其35岁起保，届时月养老金1056元。试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的实际收益率。 4.1.3 模型假设 这应当是一个过程分析模型问题。过程的结果在条件一定时是确定的。整个过程可以按月进行划分，因为交费是按月进行的。假设投保人到第月为止，所交保费及收益的累计总额为，每月收益率为，用表示60岁之前每月所交的费用和60岁之后每月所领取的费用，N表示停交保险费的月份，M表示停领养老金的月份。 4.1.4 模型建立 在整个过程中，离散变量的变化规律满足： (4.1.1) 在公式（4.1.1）中实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险人账户上的资金数值。我们关心的是，在第月时，能否为非负数？如果为正，则表明保险公司获得收益；若为负，则表明保险公司出现亏损；当为零时，表明保险公司最后一无所有，所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际收益。从这个分析结果来看，引入变量，很好地刻画了整个过程中资金的变化关系。特别是引入收益率 ，虽然它不是我们所求的保险人的收益率，但从问题的系统环境中来看，必然要考虑引入另一对象——保险公司的经营效益，以此作为整个过程中各量变化的表现基础。 4.1.5 模型求解 在(4.1.1)中两式，取初始值，我们可以得到： 再分别取，和，并利用可以求出： 它是一个非线性方程。因此求解该模型，就转换为一个求非线性方程的问题。 众所周知，代数方程求根问题是一个古老的数学问题。早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世纪才证明了次的一般代数方程是不能用代数公式求解的，因此需要研究用数值方法求得满足一定精度的代数方程的近似解。 在工程和科学技术中许多问题常归结为求解非线性方程的问题。正因为非线性方程求根问题是如此重要的基础，因此它的求根问题很早就引起了人们的兴趣，并得到了许多成熟的求解方法。下面我们介绍非线性方程的基本概念与重要解法。 4.2 非线性方程求根的数值方法 4.2.1 根的有哪些信誉好的足球投注网站相关定义 定义4.2.1 设有一个非线性方程，其中为实变量的非线性函数。 （1）如果有使，则称为方程的根，或为的零点。 （2）当为多项式，即 则称为次代数方程。当包含指数函数或者三角函数等特殊函数时，则称为特殊方程。 （3）如果，其中。为正整数，则称为的重根。当时，称为的单根。 定理4.2.1 设为具有复系数的次代数方程，则在复数域上恰有 个根（重根计算个）。如果为实系数方程，则复数根成对出现，即当：为的复根，则亦是的复根。 定理4.2.2设在连续，且，则存在，使得，即在内存在零点。 4.2.2 逐步有哪些信誉好的足球投注网站法 对于方程，，为明确起见，设，，从区间左端点出发按某个预定步长（如取，为正整数），一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的有哪些信誉好的足球投注网站。即检查节点上的函数值的符号，若，则即为方程解；若，则方程根在区间中，其宽度为。 例4.2.1 考察方程 由于 则在内至少有一个根，设从出发，以为步长向右进行根的有哪些信誉好的足球投注网站。列表记录各节点函数值的符号, 如表4.2.1所示。可见方程在内必有一根。 表4.2.1的符号 0 0.5 1.0 1.5 的符号 - - - + 易见，此方法应用关键在步长的选择上。很明显，只要步长取得足够小，利用此法就可以得到任意精度的根，但缩小，有哪些信誉好的足球投注网站步数增多，从而使计算量增大，用此方法对高精度要求不简便。 4.2.3 二分法 对非线性方程： 其中在上连续且设，不妨设在内仅有一个零点。 求方程()的实根的二分法的过程，就是将逐步分半，检查函数值符号的变化，以便确定包含根的充分小区间。 二分法的步骤如下：记， 第1步： 分半计算，即将分半。计算中点及。若，则根必在内，否则必在内（若，则），于是得到长度一半的区间含根，即，且。 第步：（*分半计算）重复上述过程。 设已完成第1步第步，分半计算得到含根区间，且满足，即，，则第步的分半计算：，且有： 确定新的含根区间，即如果，则根必在内，否则必在内，且有：。总之，由上述二分法得到序列，由(4.2.2)