几何与代数历真题.docVIP

01-02学年第二学期 几何与代数期终考试试卷 一（30%）填空题： 设，，则 ；= ； ； 设矩阵，，则行列式 ； 若向量组线性无关，则当参数 时，也线性无关； 矩阵的伴随矩阵=； 设矩阵及均可逆，则，且 ； 与向量，均正交的单位向量为 ； 四点共面的充要条件为 ； 设实二次型，则当满足条件 时，是椭球面；当满足条件 时，是柱面。 二（8%）记为由曲线绕轴旋转所产生的旋转曲面,为以与平面的交线为准线，母线平行于-轴的柱面。试给出曲面，并画出所截有界部分在平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）。 三（8%）求经过直线且与平面垂直的平面方程. 四（12%）求矩阵方程的解，其中， . 五（12%）设线性方程组 问：当参数满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 当方程组有无穷多解时，求出其通解。 六（12%）设矩阵，已知。 求参数的值； 求一 问：是否存在秩大于2的矩阵使得？为什么？ 七（12%）设实对称矩阵 求参数； 求一正交阵 八（6%）已知阶方阵相似于对角阵，并且，的特征向量均是矩阵的特征向量。证明：。 02-03学年第二学期 几何与代数期终考试试卷 填空题、单选题（每小题３分，共３６分） 1．； 2．； 3．若是正交矩阵，则行列式　 ； 4．空间四点，，，共面的充要条件是　　； 5．点到直线的距离为　　； 6．若４阶方阵的秩为２，则伴随矩阵的秩为　； 7．若可逆矩阵使，，则方阵的特征多项式为　 ； 8．若３阶方阵使都不可逆，则与对角阵　 相似（其中，是３阶单位阵）； 9．若与对角阵相合，则　 ； 10．设，其中列向量线性无关，，则齐次线性方程组的一个基础解系是　　； 11．设都是３阶方阵，，，则（　　） 　 （Ａ）5；　　（Ｂ）4；　　（Ｃ）3；　　（Ｄ）2 12．设阶矩阵满足，则以下结论中未必成立的是（　　） 　　（Ａ）可逆，且； 　　（Ｂ）或； 　　（Ｃ）若2不是的特征值，则； 　　（Ｄ）或。 计算题（每小题8分，共24分） 13． 14．求直线在平面上的垂直投影直线方程． 15．设，其中，，求． 计算题、解答题（三小题共３２分） 16．设向量组 是生成的空间．已知，． 求； 求的一个基，并求在此基下的坐标； 求的一个标准正交基． 17．用正交变换化简二次曲面方程 求出正交变换和标准形）并指出曲面类型． 18．设为由平面中的直线，直线及抛物线围成的平面区域．将绕轴旋转一周得旋转体．（１）画出平面区域的图形；（２）分别写出围成的两块曲面的方程；（３）求的交线在平面上的投影曲线的方程；（４）画出和，的图形． 证明题、解答题（每小题４分，共８分） 19．设是线性方程组的一个解，，是导出组的基础解系．证明：线性无关． 20．设是３维非零实列向量，．又．（１）求的秩；（２）求的全部特征值；（３）问是否与对角阵相似？（４）求． 0３-0４学年第二学期 几何与代数期终考试试卷 （24%）填空题 1．若向量，，共面，则参数满足 . 2．过点且包含轴的平面方程为 . 3．已知矩阵满足，则的逆矩阵= . 4．设矩阵，，则行列式 . 5．设向量组，则当 时，线性相关. 6．向量空间中向量在的基，下的坐标为 . 7．满足下述三个条件的一个向量组为 ，这三个条件是：①它是线性无关的；②其中的每个向量均与向量正交；③凡与正交的向量均可由它们线性表示. 8．已知矩阵，若对任意2维列向量有，则满足条件 . （12%）假设矩阵满足，其中.求. （15%）设向量， ，，. 问：当参数满足什么条件时 1．能用唯一线性表示？ 2．不能用线性表示？ 3．能用线性表示，但表示法不唯一？求这时用线性表示的一般表达式. （8%）设实二次型 问：实数满足什么条件时，方程表示直角坐标系中的椭球面？ （12%）设3阶方阵的特征值为，，，矩阵。 求参数的值，使得矩阵不可逆； 问：矩阵是否相似于对角阵？请说明你的理由. （12%）已知二次曲面的方程为： ，的方程为：。 问：，分别是哪种类型的二次曲面？ 求与的交线在平面上的投影曲线方程； 画出由及所围成的立体的草图. （10%）假设实对称矩阵的秩为2，并且，其中，。求的所有特征值及相应的特征向量；并求矩阵及. （7%）证明题： 设是齐次线性方程组的线性无关的解向量，不是其解向量。证明：也线性无关. 设是阶正定矩阵，证明：. 04-05学年第二学期 几何与代数期终考试试卷 (24%)填空题 以，，