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初等数论：不定方程与高斯函数 一、不定方程 不定方程也称丢番图方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些要求（如是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程是数论的重要分支学科，它的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等都有较为密切的联系。其重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，是培养思维能力的好材料，它不仅要求对初等数论的一般理论、方法有一定了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。 1．不定方程问题的常见类型： （1）求不定方程的解； （2）判定不定方程是否有解； （3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 2．解不定方程问题常用的解法： （1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等； （2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解； （3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解； （4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解； （5）无穷递推法。 以下给出几个求解定理： （一）二元一次不定方程（组） 定义.形如ax+by=c(a,b,c∈Z,a,b不同时为零)的方程称为二元一次不定方程 定理1.方程ax+by=c有解的充要条件是(a,b)|c； 定理2.若(a,b)=1，且x0，y0为ax+by=c的一个解，则方程全部解可以表示成 （t为任意整数)。 定理2’..元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …anxn=c(a1 ,a2, …an,c∈N) 有解的充要条件是 (a1, …,an )|c. 方法与技巧： 1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求ax+by=0一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止； 2．解元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …anxn=c时，可先顺次求出，……，.若 ，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组： 求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。 3．m个n元一次不定方程组成的方程组，其中mn，可以消去m-1个未知数，从而消去了m-1个不定方程，将方程组转化为一个n-m+1元的一次不定方程。 （二）高次不定方程（组）及其解法 1．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组； 2．同余法：如果不定方程F(x1, …xn)=0有整数解，则对于任意m∈N，其整数解(x1, …xn)满足F(x1, …xn)≡0(mod m)，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石； 3．不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解； 4．无限递降法：若关于正整数的命题P(n)对某些正整数成立，设n0是使成立的最小正整数，可以推出：存在，使得成立，适合证明不定方程无正整数解。 方法与技巧： 1．因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作为解题的一种手段，没有因定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会； 2．同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或求证作准备。同余的关键是选择适当的模，它需要经过多次尝试； 3．不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，求出全部解；若方程的实数解是无界的，则着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的不等式； 4．无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，使得它比已选择的解“严格地小”，由此产生矛盾。 定理3 方程x1+ …+xn=k（k∈N+） （1）非负整数解有组 （2）当k≥n时，正整数解有组 例题 1．求不定方程x4+y4+z4=2x2y2+2y2z2+2z2x2+24的所有正整数解。 2．设k是给定的正整数，k≥2，求证：连续3个正整数的积不能是整数的k次幂 3．确定方程的全部非负整数解 4．求证下列数不能表示为若干连续整数的立方和 （1）38597 （2）36617 5．正整数n不能被2，3整除，且不存在非负整数a，b，使得，求n最小值 6．求的全部正整数解 7．求的整数解 8．试证无整数解 9.试求所有的正整数a，b，c，使 10．试证无非零整数解 11．甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序参加淘汰赛，