Invariante Differentialoperatoren und die Frobenius-Zerlegung einer G-Varietat.pdf

a r X i v : m a t h / 9 9 0 6 0 9 1 v 1 [ m a t h .D G ] 1 4 J u n 1 9 9 9 INVARIANTE DIFFERENTIALOPERATOREN UND DIE FROBENIUS-ZERLEGUNG EINER G-VARIETA?T ILKA AGRICOLA Zusammenfassung. Sei G eine zusammenha?ngende reduktive komplexe algebraische Gruppe, die auf einer glatten affinen komplexen Varieta?t M wirke, und bezeichne DG(M) die G- invarianten algebraischen Differentialoperatoren auf M . Zerlegt man den Koordinatenring C[M ] in G-isotypische Komponenten, so zeigen wir, da? die hierbei auftretenden Vielfach- heitenra?ume irreduzible DG(M)-Moduln sind, zentralen Charakter haben und durch diesen eindeutig bestimmt sind. Anschlie?end beschreiben wir die analoge Zerlegung fu?r reelle For- men und zeigen anhand einiger singula?rer Beispiele, da? fu?r nicht glatte Varieta?ten a?hnliche Ergebnisse nicht zu erwarten sind. 1. Die algebraischen Differentialoperatoren Betrachte eine komplexe reduktive zusammenha?ngende algebraische Gruppe G, die auf einer ebenfalls komplexen irreduziblen affinen glatten Varieta?t M regula?r wirke. Mittels Translatio- nen operiert G dann auch auf dem Koordinatenring C[M ] ?(g)f(m) = f(g?1m) fu?r f ∈ C[M ], g ∈ G , und es ist wohlbekannt, da? diese G-Wirkung lokal-endlich ist, d.h. da? jeder endlich-dimen- sionale Unterraum vonC[M ] in einem endlich-dimensionalen G-invarianten Teilraum vonC[M ] enthalten ist. Mit diesem Beispiel vor Augen vereinbaren wir folgende Definition 1. Mit einem Vektorraum L meinen wir immer einen C-Vektorraum abza?hlbarer Dimension. Ein solcher wird halbeinfacher G-Modul genannt, wenn er unter G lokal-endlich und vollsta?ndig reduzibel ist. Mit L tra?gt auch End(L) eine Wirkung von G; das folgende Beispiel zeigt jedoch, da? die Eigenschaft, halbeinfacher G-Modul zu sein, sich i.a. nicht von L auf End(L) u?bertra?gt. Wir beschra?nken uns deswegen auf solche Unteralgebren A von End(L), die unter der induzierten G-Wirkung halbeinfach im eben genannten Sinne sind, und werden in Ku?rze sehen, da? im Fall L = C[