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§2 插值公式 不等距节点插值公式(差商插值多项式) 已知单变量函数f(x)的n+1个节点及其对应的函数值 对于插值区间 上任一点x,函数值f(x)可按下面的差商插值多项式计算: 式中分别为的一阶差商，二阶差商，...，n阶差商。可按下列程序从左到右逐列进行计算∶ 一阶差商 二阶差商 三阶差商 … n阶差商 … 表中一阶差商 二阶差商 三阶差商 …………………………………… n阶差商 差商插值多项式中的余项 余项也可以写成 式中表示的n+1阶差商。对于由测量给出函数的某些值或分析式子比较复杂的函数用这种余项较为方便。 差商插值多项式显然满足 具体插值计算步骤如下： 首先由按差商表计算出各阶差商，然后对给定的插值区间内一点a，算出，则 等距节点插值公式(差分公式) [向前差分与向后差分] 已知函数f(x)在等距节点 的值为 其差分按下式计算 一阶差分 二阶差分 ………………………… k阶差分 符号称为向前差分。此外还可引进符号，它们的定义是 符号称为向后差分。 向前差分和向后差分之间的关系为 [差分表] x y B [牛顿第一插值公式(牛顿向前插值公式)] 节 点 为步长） 插 值 点 （0u1） 插值公式 余 项 式中为二项系数。 适用范围 通常用于计算插值区间的始点附近的函数值。 [牛顿第二插值公式(牛顿向后插值公式)] 节 点 (h0) 插 值 点 插值公式 余 项 式中 用向后差分时 适用范围 通常用于计算插值区间的终点附近的函数值。 [斯特林插值公式] 节 点 插 值 点 插值公式 余 项 适用范围 通常用于计算插值区间中点附近的函数值。一般当 时用这个公式。 注意事项 每次用的节点的个数都是奇数。 [贝塞尔插值公式] 节 点 插 值 点 插值公式 余 项 适用范围 通常用于计算两相邻节点之间的中点附近的函数值。这个公式一般在时使用。 注意事项 每次用的节点的个数都是偶数。 当时，插值公式特别简单: 说明 应用差分法插值时，并非项数愈多结果就愈精确，一般取二、三次就可以了。不难看出，线性插值法只是差分法的一个特例(取一阶差分)。 三、拉格朗日插值多项式 [拉格朗日插值公式] 已知单变量函数的n+1个节点及其对应的函数值，对于插值区间内任一点x，可用下面拉格朗日插值多项式计算函数值∶ 这里 特别对于等距节点，有 式中 [埃特金逐步计算法]