十偏导数与全微分(学生用).docVIP

第十四章 偏导数与全微分 §1. 偏导数与全微分的概念 1．求下列函数的偏导数： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 2．设，考察函数在(0,0)点的偏导数. 3．证明函数在(0,0)点连续但偏导数不存在. 4．求下列函数的全微分： (1) ； (2) . 5．求下列函数在给定点的全微分： (1) 在点(1,1,1)； (2) 在点（0，1）. 6．证明函数在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。 7．证明：函数在点处偏导数存在，但不可微. 8．设很小，利用全微分推出下列式的近似公式： 9．求下列函数指定阶的偏导数： (1) ,求； (2) ,求. §2. 求复合函数偏导数的链式法则 1．求下列函数指定的偏导数： （1）．设 求. （2） 设求 2. 求下列函数指定的偏导数（假定所有二阶偏导数都连续） (1) ， ； (2) ,； (3) ,； (4) ,. （5），. 2．设，其中是可微函数，验证. 3．验证下列各式： (1) ,则； (2) ,则. §3. 由方程（组）所确定的函数的求导法 1．求下列方程所确定的函数的一阶偏导数： (1) ； (2) . 2．求由下列方程所确定的函数的全微分： (1) ； (2) . 3．设，其中为由方程所确定的隐函数，求，. 4求下列方程组所确定的函数的导数和偏导数： (1） 求； (2) 求. §4. 空间曲线的切线与法平面 1.求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程： (1) ,在点(1,-1,2)； (2) ,在点. 2.证明曲线与锥面的母线相交成同一角度. §5. 曲面的切平面与法线 1.求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程： (1) ，在点（1,1,2）； (2) 在点(2,1,12)； (3) 在点. 2.求曲面的切平面，使它平行于平面. 3.证明：曲面的切平面与某一定直线平行，其中为常数. §6. 方向导数和梯度 1.设，求在点沿到点的方向导数. 2.求函数在点处沿到点的方向上的方向导数. 3.求：(1) ，，与轴正向的夹角为； (2) ,, 与向量同向. 4.设函数在可微，单位向量，，，，确定使得. §7. 泰勒公式 1.写出函数在(1,-2)点的泰勒公式. 2.求下列函数在点邻域的四阶泰勒公式： (1) ； (2) . 偏导数与全微分 第 1 页 共 8 页