十元次方程小结.docVIP

第二十二章　一元二次方程　小结 昆明市实验中学　初三（５）班　陈璇 Ⅰ、本章知识结构框图： Ⅱ、本章知识点： １、一元二次方程的定义及一般形式： 只含有一个未知数、并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程的一般形式是：ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０），其中ａｘ2叫做二次项，ａ叫做二次项系数，ｂ叫做一次项系数，ｃ叫做常数项。 注意：（１）一般形式中，ｂ、ｃ可以是任何实数；二次项系数ａ是不等于0的实数，这是因为ａ等于0，方程就不是二次方程了； 　　（２）要确认一元二次方程的各项系数，必须先将此方程化简整理成一般形式，然后再确定ａ、ｂ、ｃ，同时不要漏掉符号。 ２、一元二次方程的解： 　　能使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）。 ３、一元二次方程的四种解法： 　　解一元二次方程常用的方法有：开平方法，配方法，公式法和因式分解法。其中开平方法和因式分解法是特殊解法，而配方法和由配方法推导出来的求根公式是一般方法，一般方法对任何一元二次方程都可以使用。 直接开平方法： 把方程变为形如（ｘ+ａ）2＝ｂ（ｂ≥０）的方程可用直接开平方法求解。两边直接开平方得：ｘ+ａ＝　ｂ或ｘ+ａ＝－　ｂ。 ∴ｘ１＝-ａ+　ｂ，ｘ２＝－ａ－　ｂ。 注意：（１）直接开平方的理论根据是平方根的定义，故只有在ｂ≥０条件下，方程才有实数根。若ｂ＜０，则方程（ｘ+ａ）2＝ｂ无实数根； （２）在实际问题中，要联系实际情况确定方程的解。 （２）因式分解法： 如果一元二次方程经过因式分解能化成ａ·ｂ＝０的形式，且ａ与ｂ都是含有未知数的一次式那么它就可以化为两个一元一次方程ａ＝０或ｂ＝０，根据这种思想解一元二次方程的方法，就是因式分解法。 因式分解法体现了将一元二次方程“降次”转化为一元一次方程来解的思想，运用这种方法的步骤是： ①将已知方程化为一般形式，使方程右端为０； ②将左端的二次三项式分解为两个一次因式的积； ③分别令方程左边的两个因式为０，得到两个一次方程，它们的解就是原方程的解。 注意：因式分解法是解一元二次方程常用的方法，务必熟练掌握。 （２）配方法： 通过配方把一元二次方程ａｘ2+ｂｘ+ｃ＝０变形为（ｘ+　）2＝　　　　的形式，再利用直接开平方法解之，这就是配方法。 　　用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ②化二项系数为１：在方程两边都除以二次项系数； ③配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为（ｘ＋ｍ）2＝ｎ（ｎ≥０）的形式； ④用直接开平方法解变形后的方程。 注意（１）“将二项系数化为１”是配方的前提条件，配方是关键也是难点； 　　（２）配方法是一种重要的数学方法，应予以重视。 （４）公式法： 应用配方法可导出一元二次方程ａｘ2+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）的求根公式ｘ＝　　　　　　（ｂ2－４ａｃ≥０）。 用公式法解一元二次方程的一般步骤： ①化方程为一般形式，即ａｘ2+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）； ②确定ａ、ｂ、ｃ的值，并计算ｂ2－４ａｃ的值（注意符号）； ③当ｂ2－４ａｃ≥０时，将ａ、ｂ、ｃ及ｂ2－４ａｃ的值代入球根公式，得出方程的根：ｘ＝　　　　　　；当ｂ2－４ａｃ＜０时，原方程无实数解。 注意：（１）在运用公式法解一元二次方程时，一定要先把方程化为一般形式，再确定ａ、ｂ、ｃ的值，否则，易出现符号错误； （２）用公式法解一元二次方程时，套入公式要运算准确。 ４、怎样选择恰当的方法解一元二次方程： 解一元二次方程常用的方法有四种。使用时关键是选择适当的方法，一般按照先特殊后一般的程序选择，考虑的顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法。没有特殊要求，配方法一般不用，因为配方法解方程比较麻烦，但配方的方法要熟练掌握。 ５、一元二次方程根的判别式及应用： （１）一元二次方程根的判别式概念及定理内容： 概念：一元二次方程ａｘ2+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）是否有实数根，完全取决于ｂ2－４ａｃ的符号，因此，把ｂ2－４ａｃ叫一元二次方程的根的判别式。用“Δ”表示，即Δ＝ｂ2－４ａｃ。 内容：对于一元二次方程ａｘ2+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）， 　　Δ＝ｂ2－４ａｃ＞０，方程有两个不相等实数根； 　　Δ＝ｂ2－４ａｃ＝０，方程有两个相等的实数根； 　　Δ＝ｂ2－４ａｃ＜０，方程无实数根。 注意：（１）Δ＝ｂ2－４ａｃ只适用于一元二次方程； 　　（２）使用时，要先将一元二次方程化为一般形式后，才能确定ａ、ｂ、ｃ，求出Δ； （３）当Δ＝ｂ2－４ａｃ≥０时，方程有实数根。 （２）一元二次方程根的判别式主要有以下应用： ①不解一元二次方程，判断根的情况； ②证明字母系数方程有实数根或无实数根； ③根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。 ６、一元二次方程根与系数的关系及应用： （