十多元函数积分学.docVIP

第十一章 多元函数积分学 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1．了解二重积分的概念, 知道二重积分的性质. 2．掌握二重积分在直角坐标系下和极坐标系下的计算方法. 3．会用二重积分解决简单的实际应用题(体积、质量). 4．了解曲线积分的概念和性质. 5．会计算简单的曲线积分. 重点 二重积分的概念，直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，曲线积分的概念，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题. 难点 直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题. （二）内容提要 1．二重积分 设二元函数是定义在有界闭区域上的连续函数，用微元法先找出体积微元，再累加求出总体，由这两步所得的表达式，即称为函数在闭区域上的二重积分，其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分区域，称为面积元素，称为积分变量. 2．二重积分的几何意义 在区域上当时，表示曲面在区域上所对应的曲顶柱体的体积.当 在区域上有正有负时，表示曲面在区域上所对应的曲顶柱体的体积的代数和. 3． 二重积分的性质 (1)可加性 . (2)齐次性 . (3)对积分区域的可加性 设积分区域可分割成为、两部分，则有 . (4)(积分的比较性质) 若，其中，则 . (5)（积分的估值性质） 设，其中，而为常数，则 , 其中表示区域的面积. (6)（积分中值定理）若在有界闭区域上连续，则在上至少存在一点，使得 . 4. 二重积分的计算 ⑴　二重积分在直角坐标系下的计算 直角坐标系下的面积元素 , ①若:,,则=， ②若: ,,则=. ⑵二重积分在极坐标系下的计算 极坐标系下的面积元素，极坐标与直角坐标的关系 若: ,,则 ==. 5. 对坐标的曲线积分 设是有向光滑曲线,是定义在上的向量函数,且在上连续,利用微元法,先写出弧微元,作乘积=,再无限累加,由这两步所得的表达式,即称为函数在有向曲线上对坐标的曲线积分,其中有向曲线称为积分路径. 如果中有一个为零，则这时曲线积分的形式为 , 如果曲线是封闭曲线，上积分记为. 6.对坐标的曲线积分的性质 设为有向曲线弧，是与方向相反的有向曲线弧，则 . ② 如果，则有 7.格林公式 设是平面上以分段光滑曲线为边界的有界闭区域,函数及在上有一阶连续偏导数,则有格林公式 , 其中是区域的正向边界. 8.曲线积分与路径无关 (1)定义 设是一个单连通区域,将简称为简称为,如果对内任意指定的两点,以及内从点到点的任意两条不相同的曲线,若有 , 则称曲线积分在内与路径无关.这时,可将曲线积分记为. (2)曲线积分与路径无关的定理 ①在单连通区域内，曲线积分与路径无关的充分必要条件是：对内任意一条闭曲线，均有 . ②设函数和在单连通区域内有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是:在区域内恒成立. 9. 曲线积分的计算方法 ⑴积分路径由参数方程给出 设面上的有向曲线的参数方程为且满足: 当参数单调地由变到时,曲线上的点由起点运动到终点; ② ,在以和为端点的闭区间上具有一阶连续导数,且 ; ③,在有向曲线弧上连续.则曲线积分存在,且=. ⑵ 积分路径由给出 设面上的有向曲线弧的方程为 ，这时可先将有向曲线弧的方程看作 是以为参数的参数方程然后再按（1）中的方法计算. 要特别注意:在将对坐标的曲线积分转换为定积分时,积分下限一定要对应积分路径的 起点， 积分上限一定要对应积分路径的终点. 二 、主要解题方法 1．在直角坐标系下二重积分的计算 例1 计算 其中由直线，和曲线所围成. 解 画出区域的图形如图所示，求出边界曲线的交点坐标（，2）, （1，1）, （2，2），选择先对积分，这时的表达式为 于是 == = = = . 分析 本题也可先对积分后对积分，但是这时就必须用直线将分和两部分.其中 由此得 =+ =+ =+ =+ = . 显然，先对积分后对积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步