单调性与最大(小)值(课时)f.docVIP

1.3.1 单调性与最大（小）值（第一课时） 华南师范大学 数学科学学院 刘发荣 教学目标 知识与技能： 理解函数单调性的概念 学会判断一些简单函数在给定区间上的单调性 掌握利用函数图像和单调性定义判断、证明函数单调性的基本方法、步骤 过程与方法： 通过函数单调性概念的学习，让学生体验概念形成的过程，同时了解从特殊到一般、具体到抽象、感性到理性的数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力 情感态度与价值观： 通过函数单调性的探究过程，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。同时，让学生体会到数学来自于生活、又服务于生活。 教学重点与难点 教学重点：函数单调性的概念 教学难点：从图像的直观感知到函数增减的数学符号语言的过渡 教学模式：引导探究 教学方法： 教师启发讲授 五、 教学基本流程： 教学过程： 创设情境 （1）（提问学生）据说，由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请说明时间调动的原因 （2）由图象可知，7月25日之后的16天内，北京平均气温、平均降雨量和平均降雨天数均呈现上升的趋势。而8月8日到8月24日，均呈现下降的趋势，比较适宜大型国际体育赛事。 （过渡性语言） 原来啊，8月8日除了好意头之外，还有这么一个关于天气的原因。从这个事情可以看出，如果我们可以掌握“上升、下降”的变化规律，对我们的生活是十分有帮助的。同样的，我们之前所学习的函数也有这样的一种变化规律，下面让我们一起来学习一下。 探究新知 观察图像，感知特征（直观感知） 首先，我们看看十分熟悉的两个函数，一次函数和二次函数，现在，我们一起来观察一下两个图像，有没有发现类似于我们前面天气图像的变化规律？ （预测）：学生通过感知，可以看出，从左到右，一次函数的图像是上升的；而二次函数的图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的。 （PPT展示）：函数图像的这种“上升”、“下降”的变化规律，我们称之为函数的单调性。 （过渡性语言） 我们研究数学的过程通常可以分为观察感知——定量分析——逻辑证明这三个步骤，刚才我们已经从图像感知到函数“上升”、“下降”的性质。下面，我们接着进一步分析，用数据说明问题。 定量分析，理性思考（自然语言描述） 1 观察下面的表格，描述二次函数随x 增大函数值的变化特征（PPT展示）： x …… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …… f(x) …… 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …… 2 引导学生用自然语言描述函数图像特征： 下降 在区间上，随着x 的增大，相应的f(x)反而随着减小； 上升 在区间上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。 自然语言——数学符号语言（只分析“上升”） 1 P28 思考：如何利用函数解析式描述“随着x 的增大，相应的f(x)反而随着减小”、“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大” 10 “随着x 的增大”——“任取两个x1、x2”（学生可能会省略“任取”） 20 “相应的f(x)反而随着减小”——“f（x1）f（x2）” 2 对于“任取” 二次函数的图像，满足f(-2)f(3)，但是，从图像可以看出，f(x)在R上是先“下降“后”上升“。 以上表明：两个特殊点满足“在区间上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大“，我们是不能保证函数“上升”的性质。 （Excel展示）：以二次函数为例，考虑区间，让学生任取一个自变量为起点，再任意的间隔，观测图表。 3 学生明确“任取”的重要性（完善） 给出定义 ?实际上，某个函数f(x)在区间D上是“上升”的，我们称之为在区间D上的增函数。例如，二次函数在上是增函数。 下面，我们给出增函数更一般的定义。、 一般地，设函数f（x）的定义域为I： 如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数； 同样地，对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数。 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。 那么，从定义可知，在R上是增函数；在区间上是减函数，而在区间上增函数。 解剖分析 1 几何特征：增函数的图像是呈上升的趋势；而减函数是呈下降的趋势。 2 函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部的性质(局部性)。 有些函数在整个定义域上是单调的；有些函数在定