第四章数学教学理论——数学变式教学探讨与思考讲述.ppt

4.2.1 变式教学 一、变式教学的分类和教学含义 1.从中国人数学学习悖论说开去 （1）中国学习者的数学学习环境存在许多缺陷： 教学方式:典型的“被动灌输”和“机械训练” 单一讲授的上课方式，教师灌输,学生被动接受； 班级规模：一般超过40人，多至50人以上； 考核方式：低认知水平的频繁考试和高度竞争，造成教师、学生沉重负担； （2）从学生学业评价的角度来看，中国中小学教学具有明显的优势 海外的中国学生一般取得比其实际智商预期更好的成就: IEA的数据表明:IMO，中国队一贯名列前茅; Stevenson（1992）在《学习的差距》中揭示，美国学生的学习成绩明显低于中国甚至东亚学生，从1到11年级，这种差异明显存在; PISA(Program for International Student Asse- ssment）中，中国学生阅读、数学、科学三个项目名列前茅。 2.变式教学的分类和教学含义 所谓“变式”就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理转化。即不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件和结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境。但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性。 在教学中使学生确切掌握概念的重要方法之一。即在教学中用不同的形式的直观材料或者事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质属性以突出事物的本质特征。目的在于使学生了解哪些是事物的本质特征，……，从而形成科学概念。 -------顾明远《教育大辞典》1999 例如：“相交弦定理”的变式训练—— 图1 图2 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的长的积相等。（图1） 变式1：改变交点的位置，结论不变。特别当P为一条弦的中点时…… 图3 变式2：当两条弦相交于圆上时 如图PA=PC=0,结论不变。 图4 图5 变式5：图5中PD绕点P旋转与圆相切，则D(C)重合，结论成立，且PA-=PC——切线长定理 图6 变式4：图5中，当PAA绕P点旋转至与圆相切时，此时A（B）重合，结论不变——切割线定理 变式3：当两弦的交点在圆外时，P可作为两弦的外分点，结论成立——割线定理 启示：P在圆内、上、外有统一的结论。充分展示了定理间的内联系，旧知识（固着点）与新知识之间现实了实质性的联系（非人为的）。 培养学生变化运动的观点和发散思维。 顾泠沅认为教学中存在两种变式：“概念性变式”和“过程性变式”。 （1）传统意义上的概念性变式主要包括以下两类： 一类是改变概念的外延, 称为概念变式； 一类是改变一些能混淆概念外延的属性, 比如举反例, 称为非概念变式。 这两种变式构成“概念性变式” , 目的是让学生获得对概念的多角度理解。 ◎通过直观或具体的变式引入概念数学—— 具体直观的经验, 使学生能够建立起抽象概念和感性经验之间的联系。 例如：“两条直线异面”概念的教学 学习该概念的难点： 概念的定义比较抽象，学 生不易理解； 异面直线属于三维图像, 用平面直观图去表示会造 成视觉上的失真, 因此概念的对象 ( 即外延) 就难以鉴别。 为了突破难点, 教师通常会借助变式，从学生把已有的感 性经验出发，帮助 理解概念图形的基本特征, 进而把上升 为抽象水平,握概念的外延空。 图7 通过直观材组织已有的感性经验, 使学生理解概念的具体含义； 图8（1） 图8（2） 在概念引入时具体或直观的变式是帮助学生建立感性经验和抽象概念之间的联系。而数学概念的本质是抽象的, 因此, 教学中尽可能地摆脱具体或直观的背景, 使概念上升到抽象的水平。 利用图形变式作为直观材料和抽象概念之间的过渡。 ◎通过非标准形式突出概念的本质属性 数学概念包含清晰的外延, 掌握一个概念就意味着能够分辨一个对象是否属于概念的外延集合。 教概念的一种有效途径就是通过类化不同变式的共同属性而突出概念的本质属性。 在概念的外延集合中, 从逻辑的角度看, 每个对象都是等价的, 其实有些对象具有特殊地位。 比如,一些对象, 由于受到感性经验的影响, 或者在引入概念时先人为主, 进而成为某种相关概念的标准形式。 反例变式是非概念图形变式的常用方法：如 与半径垂直 的直线是圆 的切线吗？ 对角线互相垂直 的四边形一定是 菱形吗? 图9 非概念图形变式 标准形式 非标准形式 图9 几何概念的标准和非标准图形变式 标准形