向量与角形内心外心重心垂心知识的交汇.docVIP

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。 与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有： 设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心; 设，则向量必平分∠BAC的邻补角 设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心 △ABC中一定过的中点，通过△ABC的重心 点是△ABC的外心 点是△ABC的重心 点是△ABC的垂心 点是△ABC的内心 (其中a、b、c为△ABC三边) △ABC的外心、重心、垂心共线，即∥ 设为△ABC所在平面内任意一点，G为△ABC的重心，，I为△ABC的内心， 则有 并且重心G（，） 内心I（，） （1）是的重心. 证法1：设 是的重心. 证法2：如图 三点共线，且分 为2：1 是的重心 （2）为的垂心. 证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足. 同理， 为的垂心 （3）设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心 为的内心. 证明：分别为方向上的单位向量， 平分, )，令 （) 化简得 （4）为的外心。 典型例题： 例1：（2003年全国高考题）是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上如图设都是单位向量 易知四边形AETF是菱形 故选答案B 例2：（2005年北京市东城区高三模拟题）为△ABC所在平面内一点，如果，则O必为△ABC的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上OB⊥CA 故选答案D 例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足 ，则点O是三角形ABC的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上由条件可推出 故选答案D 例4：设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， 动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上 故选答案D 例5、已知向量满足条件，，求证：是正三角形． 分析　对于本题中的条件，容易想到，点是的外心，而另一个条件表明，点是的重心． 故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形．在1951年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的． 显然，本题中的条件可改为． 高考原题 例6、O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析　已知等式即，设，显然都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故为的平分线，选． 例7、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m = 　． 分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观．解法如下，由已知，有向量等式，将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有，将已知代入，有，即，由是外心，得，由于是任意三角形，则不恒为０，故只有恒成立． 或者，过点作与，则是的中点，有；是垂心，则，故与共线，设，则，又，故可得，有，得． 根据已知式子中的部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为，是平面内任一点，均有，由题意，题目显然叙述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图１，由图上观察，很容易猜想到，至少有两个产生猜想的诱因，其一是，均与三角形的边垂直，则；其二，点是三角形的中线的三等分点．