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向量方法 张宏斌 （疏附县二中 新疆喀什 844100） 摘要：向量的发展、向量方法在中学教学中的运用 关键词：中学数学教学；向量方法；应用 1 前言 见于在全日制普通高级中学教科书中增加了大量的相关向量的内容，如向量的概念、表示、性质及其运算等内容。尽管向量是高中数学的新增内容，但确是新高考的一个亮点。而且向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的双重身份，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，空间几何占有着很重要的地位特别是在近几年高考数学试题中得到了充分的体现。而且向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角，如证明线面平行、线面垂直及面面平行、面面垂直及夹角和距离问题中方显出更大的优越性。特别是法向量的引入，法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理，变得思路清晰且规范。比起过去的常规法解决空间几何问题有了更深刻更新颖的认识。有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程，这充分揭示方法求变的重要。 随着课程改革的进行，可见向量的应用将会更加广泛，为了更好的做好今后的教学工作，所以对向量方法的探讨显得尤为重要了。 2 向量的发展 尽管我们中学课本里比较详尽的叙述了向量的概念、表示、运算及其应用，即向量是既有大小又有方向的量，是不同与以往的数量，他们之间不能进行大小比较；它可以有几何和代数两种表示形式，也就是说可用有向线段和字母及坐标来表示；同时也阐述了它的加、减、数乘和数量积四种运算。可向量的发展确经历了所谓的萌芽时期到概念与理论的逐渐形成阶及开创和完善等几个阶段。 2.1 萌芽时期 古希腊的亚里士多德（前384-前322）已经知道两个力的合成，可以用平行四边形法则得到。 2.2 向量概念与理论的逐渐成形 丹麦的魏塞尔（1745-1818）和瑞士的阿工（1768-1822）发现了复数的几何表示。德国高斯（1777-1855）建立了复平面的概念，从而使复数与向量建立起一一对应。这不但为虚数的现实化提供了可能，也为向量的发展开辟了道路。向量表示为一对有序的实数（a,b）是一个重大的进步。 19世纪中期，英国数学家哈密顿（1805-1865）发明了四元数（包括数量部分和向量部分）以代表空间中的向量。他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础。麦克斯韦（1831-1879）这位杰出的爱尔兰人，不仅是向量史上非常有影响的人物，而且也代表着19世纪物理学的重要发展方向，进而让人们逐步认识到用向量处理问题的重要性。麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了向量分析。 三维向量分析的开创，以及其同四元数的正式决裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的。他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数。他们引进两种类型的乘法，即数量积和向量积。并把向量代数推广到变向量的向量微积分。从此，向量的方法被引进到数学分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。 N维向量理论是由德国数学家格拉斯曼于1844年引入的。这里的n维向量可以是任意数学对象或物理对象。格拉斯曼在1862年的《扩张论》中给出了一种经验的线性结构的公理化表述，定义了元素的加法、减法、数乘和数除，给出了这四种运算的一系列基本性质和运算定律。 2.3 向量理论的完善。 向量空间的抽象概念首先由意大利的皮亚诺（1858-1932）从几何中发展而来他在1888年的著作《几何演算---基于格拉斯曼的扩张论》中给出了被他称为“线性系统”的第一个公理化定义。 1918年，德国数学家外尔（1885-1955）在其著作《空间，时间，物质---关于广义相对论的讲座》中对实数域上的向量空间进行了公理化。但皮亚诺和外尔的工作对向量空间公理化的传播并没有起到决定性的作用。向量空间公理化向前发展的关键性一步是由波兰数学家巴拿赫（S.Banach，1892-1945）、美国数学家维纳（N.Wiener，1894-1964）和澳大利亚数学家哈恩（H.Hahn，1879-1934）迈出的。这三位数学家都是在分析的研究中发现了赋范向量空间的概念，且都对推广各种空间的代数和拓扑性质具有浓厚兴趣。到20世纪30年代，向量空间理论已成为许多复杂精确性理论的基础和一种模型，被广泛应用到数学的许多分支及其它学科中。像任何一门公理化的数学分支一样，向量理论的公理化一旦完成，就允许各种具体的解释，其应用范围得到了极大的拓广。 现今，（n维）向量空间的概念，已成为数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各个领域中得到了广泛的应用，而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念