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15.2 判断与命题 15.2.1 判断与数学判断 判断是对客观事物的一种认识,是对客观事物有所肯定或否定的思维形式,判断是概念与概念的联合。 数学判断是对空间形式和数量关系有所肯定或否定的思维形式。例如,“正数都大于零”、“有些一元二次方程无实根”等都是数学判断。判断有真有假。如果一个判断能如实地反映客观事物,在质和量上都能正确地反映客观事物的真实性而无虚设,那么这个判断就是真判断,否则就是假判断。上面提到的两个判断都是真判断。而“所有的一元二次方程都有实根”却是一个假判断。事实上,一元二次方程x2+1=0就没有实根。判断的结构和种类是比较复杂的,在这里我们不作重点研究,只重点研究命题。 15.2.2数学命题及其结构 表达数学判断的语句或符号的组合称为数学命题。例如,“等角的余角相等”、“5＜6”、“x2=0”、“a2-2ab+b2=(a-b)2”、“x＞1”、“△ABC∽△A′B′C′”等都是数学命题。由于判断有真有假,所以命题也有真假之分。 总的来说,数学命题一般由条件(前提)和结论两部分组成。条件是已知事项,结论是由条件推出的事项。根据命题结构差异,往往把数学命题分为简单命题和复合命题。 15.2.3 命题与复合命题 在逻辑里通常用p、q、r等表示命题,称为命题变量或命题变项。命题变量只能取“真”、“假”二值。常用“I”表示“真”,用“O”表示“假”。若命题q是一个真命题,则说q的真值等于I,记作q=I;若命题P是一个假命题,则说P的真值等于0,记作P=0. 1、简单命题 简单命题就是不包含其它命题的命题。简单命题可分为性质命题和关系命题两种。 性质命题 就是断定某对象具有或不具有某种属性的命题。 例1 ①一切正方形都是平行四边形; ②分数都不是无理数; ③有些负数是整数; ④有些整式不是多项式。 性质命题由主项、谓项、量项和联项四部分组成。 主项表示判断的对象。例1中的“正方形”、“分数”、“负数”、“整式”分别是四个命题的主项。 谓项表示主项具有或不具有性质。例1中的“平行四边形”、“无理数”、“整数”、“多项式”分别是四个命题的谓项。 量项表示主项的数量,反映判断对象的量的差别。表示对象全体的量叫做全称量项,常用“一切”、“所有”、“任意”、“任何”、“每一个”等全称量词来表示。表示对象的一部分的量项叫做特称量项,常用“一些”、“有些”、“有的”、“至多”、“至少”、“存在”等存在量词来表示。全称量项有时省略不写,如例1(2)中的全称量项“所有”省略了。 联项表示主项和谓项之间的关系,反映对象的质的差别。常用“不是”、“是”、“有”、“没有”等表示肯定或否定。 （2）关系命题 就是断定对象与对象之间的关系的命题。 例2 ①所有正数都大于零; ②直线a平行于直线b。 关系命题由主项、谓项和量项三部分组成。 主项又称关系项,是指存在某种关系的对象。例2(1)中的“正数”和“零”,例2(2)中的“直线a”和“直线b”,分别是两个命题的主项。其中,“正数”、“直线a”在前面,称为关系前项;“零”、“直线b”在后面,称为关系后项。 谓项又称为关系,就是指各个对象之间的某种关系。例2中的“大于”、“平行”分别是两个命题的谓项。 量项表示主项的数量。同性质命题一样,关系命题的量项也有全称、特称和单称三种。每一个关系项,都是有量项的,例2(1)用的是全称量词“所有”例2(2)用的是单称量记号 “1”。 如果例2中的两个命题的两个主项用a、b表示,用R表示关系,那么两个命题就具有 一个共同的形式:a与b有关系R,记作aRb。 2、复合命题 复合命题是由两个或两个以上的其它命题被逻辑连接词结合起来而构成的命题。 逻辑连接词 常用的逻辑连接词有否定、合取、析取、蕴涵、当且仅当五种。 第一,否定(非“”)给定一个命题p,它与连接词“”构成复合命题“非P”,记作P。若p为真,则p为假。若p为假,则p为真,p的真值表如表(15.1)。 表15.1 P P 1 0 0 1 p称为p的否定式,也称为负命题。例如,“是无理数”是一个真命题,它的否定式为“不是无理数”是一个假命题。 第二,合取(与、且“∧”连接起来,构成复合命题“p与q”,记作p∧q。若p、q均为真,则p∧q为真;若p、q中至少有一个为假,则p∧q为假。p∧q的真值表如表(15.2)。 表15.2 p q p∧q 1 1 0 0 0