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把数学运算归类，学会按照难易程度，而不是按照它们的外部特征加以分类，这就是我所理解的未来数学家的任务，这就是我所要走的道路。 —伽罗华 1.5 把握数学和的韵律 前面我们看到了各种数学的“和”：数的和、式的和、方程解的和、函数图象的和、有向线段的和、相似图形的和、级数的和、积分和等。除此外，数学中还定义了各种各样的和：向量的和、矩阵的和、行列式的和、集合的和（并）、随机事件的和、逻辑和等等。 这些和有什么区别？是否可以分类？有什么共性？是否可以统一？是否也是和谐的呢？这一节，我们在对其他各种和作简单介绍后，试图对上述问题作点探讨。 1.5.1 和的分类 为了方便，我们把两个或者几个相加的数、式、解、图形等统称为元素。同类元素可以相加，和仍然是同类元素。 有些元素相加，其和的数量是唯一确定的，保持相等关系，例如数、式、解的和；有些元素相加，其和的数量不再保持相等关系，例如有向线段，两条有向线段相加还是有向线段，但它们的长度和并不相等（仅在特殊情况下相等）。我们把和的数量保持相等关系的和称为等量和，否则称为非等量和，特别是像有向线段的和满足三角不等式：||+||≥||，不妨称为三角和。 1．等量和 前面提到的和，除了有向线段的和以外都是等量和。为了使行列式的和保持等量关系，它的定义与矩阵的和是完全不同的。两个矩阵只有在行数与列数分别相同时才能相加： 若s行n列矩阵A=，B=， 则它们的和定义为C=。 由于矩阵仅仅是一个数表，本身没有数量意义，因此其和不可能是等量和。而且A，B的特征与C的特征没有什么直接的关系。但如果把矩阵看作s×n维向量，那么矩阵和是三角和。 而行列式本身就是一个数，因此任意两个行列式都可以相加，但一般要计算出每个行列式之后再求和。仅当两个行列式阶数相同，除了某一行（或列）外，其余的数都相同时，两个行列式可以直接相加： +=。 行列式的和是一个等量和，可以看作行列式的一个性质，有时用来计算行列式，比较简单。 例 = =+=0+ =+=0-3=-18。 等量和一般不能推广到无限，例如级数的和一般不等于和的级数，只有收敛级数的和才等于和的级数。就是说+=是有条件的。 例 +是没有意义的，而恒为0。 但是+=。 2．三角和 n维向量的和、集合的和（并）、随机事件的和、逻辑和等与有向线段的和类似，都是三角和。如果舍弃这些和的元素差异，都满足三角不等式，就是这类和的共性。 （1）两个n维向量（一行或一列的矩阵），的和是： ， 定义了向量的模（长度）后，可以证明。 例 （1,2,2）+（2,1,2）=（3,3,4），但|(1,2,2)|+|(2,1,2)|=6，|(3,3,4)|=6. （2）两个集合A与B的和即A与B的并，A+B=AB，记集合中元素的个数为card（A）（或|A|），则显然有 card（A）+card（B）≥card（A+B）（或|A|+|B|≥|AB|）。 例 A={1,2,3}，B={3,4,5}，card（A）+card（B）=6；AB={1,2,3,4,5}，但是card（A+B）=56。 如果规定集合的和A+B=(A-B)(B-A)，那么这个集合和是等量和，其中集合的差A-B是集合A中去掉B中的元素。 （3）概率论中，随机事件A，B的和事件定义为A+B，表示A，B中至少有一个发生。它的概率也满足三角不等式：P(A)+P(B)≥P(A+B). 例 A=“100以内正整数中3的倍数”，B=“100以内正整数中5的倍数”，A+B=“100以内正整数中3或5的倍数”，则P(A)=0.33，P(B)=0.2，但是P(A+B)=0.470.53。 （4）逻辑代数也叫做布尔代数，二值布尔代数是用文字A，B，…代替集合{0，1}中的元素（如真、假命题），逻辑和的规定如下： 显然，0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1，是满足三角不等式的。 逻辑代数是二进制的数学，世界上不可能有比二进制更简单的计数方法了，也不可能有比布尔运算更简单的运算了。尽管今天每个有哪些信誉好的足球投注网站引擎都宣称自己如何聪明、多么智能化，其实从根本上讲都没有逃出布尔运算的框框。 等量和与非等量和除了数量外，还应该有不同的运算性质，是否与方程的解是不等式解的边缘那样，等量和也应该是三角和的边缘。 1.5.2 和的统一 纵观所有“和”，它们都是某种非空集合G内的一种二元运算*，这种运算有如下的性质： （1）封闭性：若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c； （2）结合律成立：任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c)； （3）单位元存在：存在e∈G,对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元； （4）逆元存在：任意a∈G,存在唯一确定的b∈G，a*b=b*a=e（单位元），则称a与